Com base na expressão abaixo, qual seria a equação para a condução unidimensional do calor na direção do raio, com geração de calor e em regime não estacionário?
Após escrever a equação interprete as componentes da equação resultante e descreva seu significado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar uma expressão geral de condução de calor e adaptá-la para um caso específico: condução unidimensional na direção do raio, com geração de calor e em regime não estacionário. Isso envolve entender a equação de condução de calor e simplificá-la para o que precisamos. Para resolver, vamos precisar conhecer as equações de condução térmica em coordenadas cilíndricas e entender conceitos como geração de calor e regime não estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a expressão geral que foi dada:
Essa equação é a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para um meio com gera��ão de calor. Cada termo representa uma parte do processo de transferência de calor dentro do material.
Passo 3
Como queremos uma condução unidimensional na direção do raio, isso significa que a temperatura só varia com o raio r. Portanto, podemos simplificar a equação retirando as variações nas outras direções (ângulo φ e altura z). Assim, os termos que envolvem derivadas em φ e z desaparecem.
Passo 4
Removendo os termos que dependem de φ e z, a equação fica:
Aqui,
é a densidade do material,
é a capacidade térmica específica,
é a temperatura,
é a condutividade térmica, e
representa a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Passo 5
Vamos entender cada termo da equação simplificada:
-
Termo à esquerda:
- Significado: Representa a variação da energia interna do material com o tempo. É a quantidade de calor armazenada por unidade de volume que pode mudar ao longo do tempo (regime não estacionário).
-
Primeiro termo à direita:
- Significado: É o termo de condução de calor na direção radial. Ele descreve como o calor se propaga no material devido à diferença de temperatura ao longo do raio.
-
Segundo termo à direita:
- Significado: Representa a geração de calor interna, ou seja, o calor que é produzido dentro do material por processos como reações químicas ou resistências elétricas.
Passo 6
Portanto, a equação final para a condução unidimensional do calor na direção do raio, com geração de calor e em regime não estacionário, é:
Resposta
A equação para a condução unidimensional do calor na direção do raio, com geração de calor e em regime não estacionário é: