Um tanque é alimentado com água (p=0,588 g^prime cm^3, mu=2,0810^-1 g / cm s) por uma tubulaçāo de entrada que tem diâmetro de 2 cm e esvaziado por uma tubulaçăo de saida com diámetro de 3 cm , Sabe-se ainda que a velocidade média na entrada è u1=1.5 m / s, que o tanque acumula 50 kg a cada 30 min e que a velocidade na saida da tubulaçāo, U2 é dada pela equação:
u2=umix[1-(rR)^2]
© Equacione o balanco global de massa para o sistemae se for necessário desprezar algum termo explique por que.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque que recebe água por uma tubulação de entrada e a despeja por outra de saída. A gente precisa fazer um balanço global de massa para esse sistema. Isso significa que vamos contabilizar toda a água que entra, sai e acumula no tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos e balanço de massa, buscando relacionar velocidades, diâmetros das tubulações e a massa acumulada no tanque.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as entradas e saídas de massa no sistema. Temos:
  • Entrada: Água entrando pela tubulação com diâmetro de 2 cm e velocidade média u2 = umix [1 - (rR)^2 ] .
  • Saída: Água saindo pela tubulação com diâmetro de 3 cm e velocidade dada pela equação:
  • Acúmulo: O tanque acumula 50 kg a cada 30 minutos.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para o SI para facilitar os cálculos:
  • Diâmetro da entrada: 2 cm = 0,02 m. Raio .
  • Diâmetro da saída: 3 cm = 0,03 m. Raio .
  • Acúmulo: 50 kg em 30 minutos = .

Passo 4

Vamos calcular as áreas das tubulações para achar as vazões:
A área de uma tubulação circular é dada por:
A = pi R^2
Então,
  • Área de entrada: A1 = pi (0,01)^2 = pi times 10^-4 , m^2
  • Área de saída: A2 = pi (0,015)^2 = pi times 2,25 times 10^-4 , m^2

Passo 5

A vazão volumétrica é dada por:
Q = A times u
Para a entrada:
Q1 = A1 times u1 = pi times 10^-4 times 1,5 = 4,712 times 10^-4 , m^3/s

Passo 6

Agora, vamos expressar a vazão de saída Q2 = A2 times u2 = pi times 2,25 times 10^-4 times umix [1 - (rR)^2 ] usando a velocidade :
Precisamos de mais informações sobre , e para prosseguir, mas podemos avançar assumindo que representa a velocidade média no tanque.

Passo 7

O balanço global de massa para o tanque é dado por:
Entrada - Saída = Acúmulo íú
Q1 - Q2 = dmdt
Onde é a taxa de acúmulo, que já calculamos como 0,0278 kg/s.

Passo 8

Vamos relacionar a massa com a vazão volumétrica. Sabemos que:
dmdt = rho times (Q1 - Q2)
Onde 0,0278 = 588 times (4,712 times 10^-4 - Q2) .
Então:

Passo 9

Resolvendo para 4,712 times 10^-4 - Q2 = 0,0278588 approx 4,735 times 10^-5 :
Q2 = 4,712 times 10^-4 - 4,735 times 10^-5 approx 4,238 times 10^-4 , m^3/s

Passo 10

Agora, substituímos 4,238 times 10^-4 = pi times 2,25 times 10^-4 times umix [1 - (rR)^2 ] na equação da vazão de saída:
Para continuar, precisaríamos de informações sobre e a distribuição de velocidade no tanque para encontrar . Contudo, o balanço global de massa já foi estabelecido com as informações fornecidas.

Resposta

O balanço global de massa para o sistema é:
Q1 - Q2 = dmdt
Ou seja,
4,712 times 10^-4 , m^3/s - Q2 = 0,0278 , kg/s
Convertendo a massa acumulada para vazão volumétrica e rearranjando, encontramos:
Q2 approx 4,238 times 10^-4 , m^3/s
Portanto, o balanço global de massa equacionado é:
Q1 - Q2 = dmdt

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