Com base nessas informações, pede-se determinar a frequência natural do sistema (barra, massa concentrada e molas). Assuma JO^ barra =m L^3 / 3 e JO^M=M L^2. Assumindo a hipótese de que a massa concentrada seja muito maior que a massa distribuída da barra (M>>m), simplifique a solução para a frequência natural e determine o valor limite da rigidez k a partir do qual o sistema deixa de ser estável.

Passo 1

Bele, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema que é composto por uma barra, uma massa concentrada e algumas molas. A gente precisa descobrir a frequência natural desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e de vibrações naturais. Vamos precisar das fórmulas do momento de inércia para a barra e para a massa, além da relação que liga a frequência natural com a rigidez das molas e o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é frequência natural. É a frequência na qual o sistema vibra quando não há força externa agindo sobre ele. Para calcular isso, usamos a fórmula:
omegan = raizkI
Aqui, é a frequência natural, é a rigidez das molas, e é o momento de inércia total do sistema.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia total JO^barra = m L^33 . O sistema tem duas partes: a barra e a massa concentrada. O momento de inércia da barra é dado por:
JO^M = M L^2
E o da massa concentrada é:
I = JO^barra + JO^M = m L^33 + M L^2
Então, o momento de inércia total é a soma dos dois:

Passo 4

A questão nos diz que a massa concentrada I approx M L^2 é muito maior que a massa distribuída ( ). Isso significa que podemos simplificar o momento de inércia total, já que vai ser muito menor comparado a . Assim, podemos aproximar:

Passo 5

Com o momento de inércia simplificado, vamos voltar à fórmula da frequência natural:
omegan = raizkI = raizkM L^2
Então, a frequência natural fica:
omegan = raizkM L^2

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor limite da rigidez kM L^2 > 0 implies k > 0 a partir do qual o sistema deixa de ser estável. A estabilidade do sistema está relacionada à frequência natural ser real e positiva. Se a rigidez for muito pequena, a frequência pode se tornar imaginária, indicando instabilidade.
Para garantir estabilidade, a rigidez deve ser tal que seja real, ou seja:

Resposta

A frequência natural do sistema é:
omegan = raizkM L^2
E o sistema deixa de ser estável quando a rigidez é menor ou igual a zero. Portanto, a rigidez limite para a estabilidade é .

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