Com base nessas informações, pede-se determinar a frequência natural do sistema (barra, massa concentrada e molas). Assuma
e
. Assumindo a hipótese de que a massa concentrada seja muito maior que a massa distribuída da barra
, simplifique a solução para a frequência natural e determine o valor limite da rigidez
a partir do qual o sistema deixa de ser estável.
Passo 1
Bele, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema que é composto por uma barra, uma massa concentrada e algumas molas. A gente precisa descobrir a frequência natural desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e de vibrações naturais. Vamos precisar das fórmulas do momento de inércia para a barra e para a massa, além da relação que liga a frequência natural com a rigidez das molas e o momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é frequência natural. É a frequência na qual o sistema vibra quando não há força externa agindo sobre ele. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui,
é a frequência natural,
é a rigidez das molas, e
é o momento de inércia total do sistema.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia total
. O sistema tem duas partes: a barra e a massa concentrada. O momento de inércia da barra é dado por:
E o da massa concentrada é:
Então, o momento de inércia total é a soma dos dois:
Passo 4
A questão nos diz que a massa concentrada
é muito maior que a massa distribuída
(
). Isso significa que podemos simplificar o momento de inércia total, já que
vai ser muito menor comparado a
. Assim, podemos aproximar:
Passo 5
Com o momento de inércia simplificado, vamos voltar à fórmula da frequência natural:
Então, a frequência natural fica:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o valor limite da rigidez
a partir do qual o sistema deixa de ser estável. A estabilidade do sistema está relacionada à frequência natural ser real e positiva. Se a rigidez
for muito pequena, a frequência pode se tornar imaginária, indicando instabilidade.
Para garantir estabilidade, a rigidez
deve ser tal que
seja real, ou seja:
Resposta
A frequência natural do sistema é:
E o sistema deixa de ser estável quando a rigidez
é menor ou igual a zero. Portanto, a rigidez limite para a estabilidade é
.
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