Deduzir a equação do movimento vertical que fornece a posição do centro de massa da boia, ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a equação que descreve o movimento vertical do centro de massa da boia, representado por . Isso faz parte da física dos movimentos oscilatórios e das forças envolvidas em corpos flutuantes. Para resolver, vamos precisar aplicar a segunda lei de Newton e entender as forças que atuam na boia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na boia na vertical. As principais são:
  1. Força de Gravidade ( ): Puxa a boia para baixo e é calculada por , onde é a massa da boia e é a aceleração da gravidade.
  2. Força de Empuxo ( ): Força que empurra a boia para cima, devido ao deslocamento da água, dada por , onde é a densidade da água e é o volume da boia.
  3. Força de Amortecimento ( ): Se a boia estiver se movendo, há resistência da água que age contra o movimento, proporcional à velocidade, , onde é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Com as forças identificadas, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Na vertical, a soma das forças fica:

Passo 4

Substituímos as expressões das forças na equação:

Passo 5

Podemos rearranjar a equação para trazer todos os termos para um lado, ficando igual a zero:

Passo 6

Simplificamos a equação observando que a força de empuxo menos a força de gravidade pode ser representada por uma constante, mas para uma análise geral do movimento, mantemos os termos como estão:
Onde representa a rigidez do sistema devido ao empuxo e à gravidade.

Resposta

A equação do movimento vertical que descreve a posição do centro de massa da boia é:

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Dê exemplos de sistemas físicos que podem ser modelados como um sistema massa-mola sem amortecimento. Explique por que o conceito de ressonância é importante nesses sistemas.
Com base nessas informações, pede-se determinar a frequência natural do sistema (barra, massa concentrada e molas). Assuma e . Assumindo a hipótese de que a massa concentrada seja muito maior que a massa distribuída da barra , simplifique a solução para a frequência natural e determine o valor limite da rigidez a partir do qual o sistema deixa de ser estável.
Desenvolva a equação de movimento para o sistema e determine a condição inicial imposta pela força impulsiva. Lembre que o impulso é relacionado à mudança de quantidade de movimento.
Determine a condição de ressonância e discuta como mudanças nos valores de podem ser feitas para evitar esta condição.