Deduzir a equação do movimento vertical que fornece a posição do centro de massa da boia,
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a equação que descreve o movimento vertical do centro de massa da boia, representado por
. Isso faz parte da física dos movimentos oscilatórios e das forças envolvidas em corpos flutuantes. Para resolver, vamos precisar aplicar a segunda lei de Newton e entender as forças que atuam na boia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na boia na vertical. As principais são:
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Força de Gravidade (
): Puxa a boia para baixo e é calculada por , onde é a massa da boia e é a aceleração da gravidade. -
Força de Empuxo (
): Força que empurra a boia para cima, devido ao deslocamento da água, dada por , onde é a densidade da água e é o volume da boia. -
Força de Amortecimento (
): Se a boia estiver se movendo, há resistência da água que age contra o movimento, proporcional à velocidade, , onde é o coeficiente de amortecimento.
Passo 3
Com as forças identificadas, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Na vertical, a soma das forças fica:
Passo 4
Substituímos as expressões das forças na equação:
Passo 5
Podemos rearranjar a equação para trazer todos os termos para um lado, ficando igual a zero:
Passo 6
Simplificamos a equação observando que a força de empuxo menos a força de gravidade pode ser representada por uma constante, mas para uma análise geral do movimento, mantemos os termos como estão:
Onde
representa a rigidez do sistema devido ao empuxo e à gravidade.
Resposta
A equação do movimento vertical que descreve a posição do centro de massa da boia é: