Deduzir a equação do movimento vertical que fornece a posição do centro de massa da boia, z(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a equação que descreve o movimento vertical do centro de massa da boia, representado por . Isso faz parte da física dos movimentos oscilatórios e das forças envolvidas em corpos flutuantes. Para resolver, vamos precisar aplicar a segunda lei de Newton e entender as forças que atuam na boia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na boia na vertical. As principais são:
  1. Força de Gravidade ( ): Puxa a boia para baixo e é calculada por , onde é a massa da boia e é a aceleração da gravidade.
  2. Força de Empuxo ( ): Força que empurra a boia para cima, devido ao deslocamento da água, dada por , onde é a densidade da água e é o volume da boia.
  3. Força de Amortecimento ( ): Se a boia estiver se movendo, há resistência da água que age contra o movimento, proporcional à velocidade, , onde é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Com as forças identificadas, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
sum F = m cdot d^2 z(t)dt^2
Na vertical, a soma das forças fica:
Fe - Fg - Fd = m cdot d^2 z(t)dt^2

Passo 4

Substituímos as expressões das forças na equação:
rho cdot V cdot g - m cdot g - c cdot dz(t)dt = m cdot d^2 z(t)dt^2

Passo 5

Podemos rearranjar a equação para trazer todos os termos para um lado, ficando igual a zero:
m cdot d^2 z(t)dt^2 + c cdot dz(t)dt + (m cdot g - rho cdot V cdot g) = 0

Passo 6

Simplificamos a equação observando que a força de empuxo menos a força de gravidade pode ser representada por uma constante, mas para uma análise geral do movimento, mantemos os termos como estão:
m cdot d^2 z(t)dt^2 + c cdot dz(t)dt + k cdot z(t) = 0
Onde representa a rigidez do sistema devido ao empuxo e à gravidade.

Resposta

A equação do movimento vertical que descreve a posição do centro de massa da boia é:
m cdot d^2 z(t)dt^2 + c cdot dz(t)dt + k cdot z(t) = 0

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