A base de um pirâmide é uma das faces do cubo de aresta 2 cm. Sendo a aresta lateral da pirâmide igual à diagonal do cubo e supondo que a pirâmide e o cubo estão em semiespaços opostos em relação ao plano da base da pirâmide, calcule a área total do sólido formado pela união da pirâmide com o cubo.
Passo 1
Então, a gente tem um cubo com arestas de 2 cm e uma pirâmide cuja base é uma das faces desse cubo. A aresta lateral da pirâmide é igual à diagonal do cubo. A pirâmide está de um lado do plano da base e o cubo está do outro lado. A gente precisa calcular a área total desse novo sólido formado pela união da pirâmide com o cubo. Vamos usar geometria espacial, especialmente fórmulas de área de cubo e pirâmide, além de calcular a diagonal do cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a diagonal de uma face do cubo. Num cubo com aresta de comprimento $ a = 2 $ cm, a diagonal $ d $ de uma face é dada pela fórmula:
Substituindo:
Essa é a aresta lateral da pirâmide.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do cubo. Um cubo tem 6 faces iguais, e cada face é um quadrado com área $ a^2 $. Então:
Passo 4
Vamos calcular a área da pirâmide. A pirâmide tem uma base que é um quadrado de lado 2 cm e 4 faces triangulares. A área de cada triângulo é:
Aqui, a base do triângulo é 2 cm e a altura é a aresta lateral da pirâmide, $ 2\sqrt{2} $ cm:
Como são 4 triângulos:
Somando a área da base:
Passo 5
Para encontrar a área total do sólido formado pela união do cubo com a pirâmide, vamos somar as áreas do cubo e da pirâmide, mas subtrair a área da base que está em comum (já que ela não fica exposta):
Substituindo os valores:
Resposta
A área total do sólido é
cm².