A base de um pirâmide é uma das faces do cubo de aresta 2 cm. Sendo a aresta lateral da pirâmide igual à diagonal do cubo e supondo que a pirâmide e o cubo estão em semiespaços opostos em relação ao plano da base da pirâmide, calcule a área total do sólido formado pela união da pirâmide com o cubo.

Passo 1

Então, a gente tem um cubo com arestas de 2 cm e uma pirâmide cuja base é uma das faces desse cubo. A aresta lateral da pirâmide é igual à diagonal do cubo. A pirâmide está de um lado do plano da base e o cubo está do outro lado. A gente precisa calcular a área total desse novo sólido formado pela união da pirâmide com o cubo. Vamos usar geometria espacial, especialmente fórmulas de área de cubo e pirâmide, além de calcular a diagonal do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diagonal de uma face do cubo. Num cubo com aresta de comprimento $ a = 2 $ cm, a diagonal $ d $ de uma face é dada pela fórmula:
a = 2
Substituindo:
d
Essa é a aresta lateral da pirâmide.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do cubo. Um cubo tem 6 faces iguais, e cada face é um quadrado com área $ a^2 $. Então:
a^2 Á

Passo 4

Vamos calcular a área da pirâmide. A pirâmide tem uma base que é um quadrado de lado 2 cm e 4 faces triangulares. A área de cada triângulo é:
Área do triângulo = 12 times base times aÁâ
Aqui, a base do triângulo é 2 cm e a altura é a aresta lateral da pirâmide, $ 2\sqrt{2} $ cm:
2raiz2 Áâ
Como são 4 triângulos:
Área de cada triângulo = 12 times 2 times 2raiz2 = 2raiz2 cm^2 Á
Somando a área da base:
Área das faces triangulares = 4 times 2raiz2 = 8raiz2 cm^2 Áâ

Passo 5

Para encontrar a área total do sólido formado pela união do cubo com a pirâmide, vamos somar as áreas do cubo e da pirâmide, mas subtrair a área da base que está em comum (já que ela não fica exposta):
Área total = Área do cubo + Área da pirâmide - Área da base ÁÁÁâÁ
Substituindo os valores:
Área total = 24 + (8raiz2 + 4) - 4 = 24 + 8raiz2 = 24 + 8raiz2 cm^2 Á

Resposta

A área total do sólido é 24 + 8raiz2 cm².

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