Com base nas suas respostas até agora, você diria que A e B são independentes? Justifique.

Passo 1

Beleza, o que a gente tá perguntando aqui é: com base nas respostas que a gente já deu antes, será que os eventos $ A $ e $ B $ são independentes? A matéria que a gente vai usar pra resolver isso é Probabilidade, mais especificamente o conceito de independência entre eventos. Vamos precisar lembrar o que significa dois eventos serem independentes e como calcular as probabilidades envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos $ A $ e $ B $ são independentes se a ocorrência de um não influencia a ocorrência do outro. Em outras palavras, saber que $ A $ aconteceu não muda a probabilidade de $ B $ acontecer, e vice-versa.

Passo 3

Para verificar se $ A $ e $ B $ são independentes, a gente usa a seguinte fórmula:
A
Aqui, $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de $ A $ e $ B $ ocorrerem juntos. Se isso for igual ao produto das probabilidades de $ A $ e $ B $ separadamente, então os eventos são independentes.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula. Primeiro, precisamos saber as probabilidades individuais de $ A $ e $ B $, ou seja, $ P(A) $ e $ P(B) $. Depois, calculamos $ P(A) \times P(B) $.
Em seguida, verificamos a probabilidade conjunta $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos.

Passo 5

Após calcular essas probabilidades, comparamos $ P(A \cap B) $ com $ P(A) \times P(B) $. Se eles forem iguais, isso confirma que $ A $ e $ B $ são independentes. Se não forem iguais, então os eventos são dependentes, ou seja, a ocorrência de um afeta a probabilidade do outro.

Resposta

Sim, os eventos $ A $ e $ B $ são independentes porque a probabilidade conjunta $ P(A \cap B) $ é igual ao produto das probabilidades individuais $ P(A) \times P(B) $.

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