Defina os eventos A cap B, A cap C, B cap C, e calcule P(A cap B), P(A cap C) e P(B cap C).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir os eventos $ A \cap B $, $ A \cap C $, e $ B \cap C $, e depois calcular as probabilidades desses eventos acontecerem, que são $ \mathbb{P}(A \cap B) $, $ \mathbb{P}(A \cap C) $ e $ \mathbb{P}(B \cap C) $. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a interseção de eventos, que basicamente representa a ocorrência simultânea de dois eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa $ A \cap B $. A interseção $ A \cap B $ corresponde aos resultados que pertencem tanto ao evento $ A $ quanto ao evento $ B $. É como dizer que ambos os eventos $ A $ e $ B $ ocorrem ao mesmo tempo.

Passo 3

Da mesma forma, $ A \cap C $ é a interseção entre os eventos $ A $ e $ C $. Isso representa os resultados que estão simultaneamente nos eventos $ A $ e $ C $. Ou seja, ambos os eventos $ A $ e $ C $ acontecem juntos.

Passo 4

E por fim, $ B \cap C $ é a interseção entre os eventos $ B $ e $ C $. Isso significa que os resultados pertencem simultaneamente aos eventos $ B $ e $ C $, ou seja, ambos ocorrem ao mesmo tempo.

Passo 5

Agora, para calcular as probabilidades dessas interseções, usamos a regra da multiplicação para eventos dependentes ou independentes. A probabilidade da interseção de dois eventos $ P(A \cap B) $ pode ser calculada de duas maneiras, dependendo da relação entre $ A $ e $ B $:
  1. Eventos independentes: Se os eventos $ A $ e $ B $ são independentes, a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Nesse caso, a probabilidade da interseção é: P(A cap B)
  2. Eventos dependentes: Se os eventos $ A $ e $ B $ são dependentes, a ocorrência de um afeta a ocorrência do outro. Nesse caso, usamos: A onde $ \mathbb{P}(B \mid A) $ é a probabilidade de $ B $ ocorrer dado que $ A $ já ocorreu.

Passo 6

Aplicando esse raciocínio, temos:
  • Para $ \mathbb{P}(A \cap B) $:
    P(A cap B)
  • Para $ \mathbb{P}(A \cap C) $:
    P(A cap B) = P(A) times P(B mid A)
  • Para $ \mathbb{P}(B \cap C) $:
    P(A cap C)

Resposta

As interseções dos eventos são definidas como:
A cap B, A cap C, B cap C
E as probabilidades correspondentes são:
P(A cap B) = P(A) times P(B mid A)
P(A cap C) = P(A) times P(C mid A)
P(B cap C) = P(B) times P(C mid B)

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