Defina os eventos
, e calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir os eventos $ A \cap B $, $ A \cap C $, e $ B \cap C $, e depois calcular as probabilidades desses eventos acontecerem, que são $ \mathbb{P}(A \cap B) $, $ \mathbb{P}(A \cap C) $ e $ \mathbb{P}(B \cap C) $. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a interseção de eventos, que basicamente representa a ocorrência simultânea de dois eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa $ A \cap B $. A interseção $ A \cap B $ corresponde aos resultados que pertencem tanto ao evento $ A $ quanto ao evento $ B $. É como dizer que ambos os eventos $ A $ e $ B $ ocorrem ao mesmo tempo.
Passo 3
Da mesma forma, $ A \cap C $ é a interseção entre os eventos $ A $ e $ C $. Isso representa os resultados que estão simultaneamente nos eventos $ A $ e $ C $. Ou seja, ambos os eventos $ A $ e $ C $ acontecem juntos.
Passo 4
E por fim, $ B \cap C $ é a interseção entre os eventos $ B $ e $ C $. Isso significa que os resultados pertencem simultaneamente aos eventos $ B $ e $ C $, ou seja, ambos ocorrem ao mesmo tempo.
Passo 5
Agora, para calcular as probabilidades dessas interseções, usamos a regra da multiplicação para eventos dependentes ou independentes. A probabilidade da interseção de dois eventos $ P(A \cap B) $ pode ser calculada de duas maneiras, dependendo da relação entre $ A $ e $ B $:
- Eventos independentes: Se os eventos $ A $ e $ B $ são independentes, a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Nesse caso, a probabilidade da interseção é:
- Eventos dependentes: Se os eventos $ A $ e $ B $ são dependentes, a ocorrência de um afeta a ocorrência do outro. Nesse caso, usamos:
onde $ \mathbb{P}(B \mid A) $ é a probabilidade de $ B $ ocorrer dado que $ A $ já ocorreu.
Passo 6
Aplicando esse raciocínio, temos:
-
Para $ \mathbb{P}(A \cap B) $:
-
Para $ \mathbb{P}(A \cap C) $:
-
Para $ \mathbb{P}(B \cap C) $:
Resposta
As interseções dos eventos são definidas como:
E as probabilidades correspondentes são: