Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( m ddotx+c dotx+k x=0 ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
ddotx+2 zeta omegan dotx+omegan^2 x=0
Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação m ddotx+ c dotx+k x=0 é dada por:
x(t)=X e^-zeta omegan t cos raiz1-zeta^2 omegan t-phi
Onde:
X=raizx0 ^2+(dotx0+zeta omegan x0raiz1-zeta^2 omegan)^2 e phi=tan ^-1(dotx0+zeta omegan x0x0 omegan raiz1-zeta^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre um sistema massa-mola-amortecedor não forçado, que matematicamente é representado pela equação:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Nosso objetivo aqui é mostrar que a dinâmica desse sistema de segunda ordem pode ser descrita de uma forma mais genérica:
ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0
E, mais adiante, para o caso específico de um sistema subamortecido (ou seja, com amortecimento suficiente para não impedir as oscilações, mas que as suaviza), mostrar que a solução dessa equação é:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos ( raiz1 - zeta^2 , omegan t - phi )
Vamos precisar entender alguns conceitos de sistemas dinâmicos de segunda ordem, como frequência natural ( omegan) e fator de amortecimento ( zeta), além de resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação original do sistema massa-mola-amortecedor na forma genérica que queremos. Começamos com:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Para chegar na forma:
ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0
Precisamos dividir toda a equação por m:
ddotx + cm dotx + km x = 0
Agora, identificamos os termos:
  • Frequência natural ( omegan): É a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento. Ela é dada por:
omegan = raizkm
  • Fator de amortecimento ( zeta): Indica quão “amortecido” está o sistema. É definido por:
zeta = c2 raizm k
Substituindo omegan e zeta na equação, temos:
ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0
Assim, mostramos que a dinâmica do sistema pode ser descrita pela forma genérica desejada.

Passo 3

Agora, vamos focar no caso de um sistema subamortecido, ou seja, quando zeta < 1. Nesse cenário, o sistema ainda oscila, mas as oscilações vão diminuindo com o tempo devido ao amortecimento.
A equação diferencial é:
ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma:
x(t) = e^lambda t
Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
lambda^2 + 2 zeta omegan lambda + omegan^2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para lambda:
lambda = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1
Como estamos considerando zeta < 1, a parte dentro da raiz será negativa. Podemos reescrever:
lambda = -zeta omegan pm i omegan raiz1 - zeta^2
Isso nos leva à solução geral para sistemas subamortecidos:
x(t) = e^-zeta omegan t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) )
Onde omegad = omegan raiz1 - zeta^2 é a frequência amortecida.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa solução usando uma única função cosseno com um ângulo de fase. Isso é possível usando identidades trigonométricas para combinar os termos de cosseno e seno.
A solução geral é:
x(t) = e^-zeta omegan t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) )
Podemos reescrever isso como:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos( omegad t - phi )
Onde X é a amplitude inicial ajustada e phi é o ângulo de fase. Para encontrar X e phi, usamos as condições iniciais x(0) = x0 e dotx(0) = dotx0.

Passo 5

Vamos determinar X e phi usando as condições iniciais.
A expressão para x(t) é:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos( omegad t - phi )
Aplicando t = 0:
x(0) = X cos(-phi) = X cos(phi) = x0
Derivando x(t) em relação ao tempo:
dotx(t) = -X e^-zeta omegan t ( zeta omegan cos(omegad t - phi) + omegad sin(omegad t - phi) )
Aplicando t = 0:
dotx(0) = -X (zeta omegan cos(-phi) + omegad sin(-phi)) = -X (zeta omegan cos(phi) - omegad sin(phi)) = dotx0
Agora temos um sistema de duas equações:
  1. X cos(phi) = x0
  2. -X (zeta omegan cos(phi) - omegad sin(phi)) = dotx0
Resolvendo esse sistema para X e phi, encontramos:
X = raizx0^2 + ( dotx0 + zeta omegan x0omegad )^2
E o ângulo de fase phi:
phi = tan^-1( dotx0 + zeta omegan x0omegan raiz1 - zeta^2 x0 )
Simplificando omegad = omegan raiz1 - zeta^2, a expressão para phi fica:
phi = tan^-1( dotx0 + zeta omegan x0omegan x0 raiz1 - zeta^2 )

Resposta

Portanto, para um sistema subamortecido, a solução da equação m ddotx + c dotx + k x = 0 é dada por:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos( raiz1 - zeta^2 , omegan t - phi )
Onde:
X = raizx0^2 + ( dotx0 + zeta omegan x0raiz1 - zeta^2 omegan )^2
E:
phi = tan^-1( dotx0 + zeta omegan x0omegan x0 raiz1 - zeta^2 )

Exercícios relacionados