Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre um sistema massa-mola-amortecedor não forçado, que matematicamente é representado pela equação:
Nosso objetivo aqui é mostrar que a dinâmica desse sistema de segunda ordem pode ser descrita de uma forma mais genérica:
E, mais adiante, para o caso específico de um sistema subamortecido (ou seja, com amortecimento suficiente para não impedir as oscilações, mas que as suaviza), mostrar que a solução dessa equação é:
Vamos precisar entender alguns conceitos de sistemas dinâmicos de segunda ordem, como frequência natural ( ) e fator de amortecimento ( ), além de resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação original do sistema massa-mola-amortecedor na forma genérica que queremos. Começamos com:
Para chegar na forma:
Precisamos dividir toda a equação por :
Agora, identificamos os termos:
  • Frequência natural ( ): É a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento. Ela é dada por:
  • Fator de amortecimento ( ): Indica quão “amortecido” está o sistema. É definido por:
Substituindo e na equação, temos:
Assim, mostramos que a dinâmica do sistema pode ser descrita pela forma genérica desejada.

Passo 3

Agora, vamos focar no caso de um sistema subamortecido, ou seja, quando . Nesse cenário, o sistema ainda oscila, mas as oscilações vão diminuindo com o tempo devido ao amortecimento.
A equação diferencial é:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma:
Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Como estamos considerando , a parte dentro da raiz será negativa. Podemos reescrever:
Isso nos leva à solução geral para sistemas subamortecidos:
Onde é a frequência amortecida.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa solução usando uma única função cosseno com um ângulo de fase. Isso é possível usando identidades trigonométricas para combinar os termos de cosseno e seno.
A solução geral é:
Podemos reescrever isso como:
Onde é a amplitude inicial ajustada e é o ângulo de fase. Para encontrar e , usamos as condições iniciais e .

Passo 5

Vamos determinar e usando as condições iniciais.
A expressão para é:
Aplicando :
Derivando em relação ao tempo:
Aplicando :
Agora temos um sistema de duas equações:
Resolvendo esse sistema para e , encontramos:
E o ângulo de fase :
Simplificando , a expressão para fica:

Resposta

Portanto, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
E:

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Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por: