Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado, que é:
O objetivo é mostrar que essa equação pode ser escrita de uma forma mais genérica, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como frequência natural ( ) e a razão de amortecimento ( ), e fazer umas manobras algébricas pra chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação original dividindo todos os termos por . Isso ajuda a deixar a com coeficiente 1, o que facilita a comparação com a forma genérica. Assim:
Agora, a equação tá mais limpa e com os coeficientes facilitando o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos identificar a frequência natural do sistema, denotada por . A frequência natural é a frequência na qual o sistema oscilaria se não tivesse amortecimento nem forças externas. Ela é calculada por:
Essa fórmula surge da relação entre a constante da mola ( ) e a massa ( ) do sistema.

Passo 4

O próximo conceito é a razão de amortecimento, representada por . A razão de amortecimento indica o quanto o sistema é amortecido, ou seja, como a oscilação vai diminuindo com o tempo. Ela é dada por:
Aqui, é a constante de amortecimento, e usamos a que já calculamos para facilitar a expressão.

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação que simplificamos no Passo 2. Ficamos com:
Essa substituição mostra que a nossa equação original pode, de fato, ser reescrita na forma genérica que queríamos.

Resposta

A dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor pode ser descrita pela equação de segunda ordem genérica:

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Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
Definir o material a ser utilizado e dimensionar a seção transversal a partir do cálculo do MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO E DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO ADMISSÍVEL (Sugestão de Material: Plástico Reforçado Kevlar );
Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por:
Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente . O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, é de 0.01 m. Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.