Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado, que é:
O objetivo é mostrar que essa equação pode ser escrita de uma forma mais genérica, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como frequência natural () e a razão de amortecimento (), e fazer umas manobras algébricas pra chegar na forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação original dividindo todos os termos por . Isso ajuda a deixar a com coeficiente 1, o que facilita a comparação com a forma genérica. Assim:
Agora, a equação tá mais limpa e com os coeficientes facilitando o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos identificar a frequência natural do sistema, denotada por . A frequência natural é a frequência na qual o sistema oscilaria se não tivesse amortecimento nem forças externas. Ela é calculada por:
Essa fórmula surge da relação entre a constante da mola () e a massa () do sistema.
Passo 4
O próximo conceito é a razão de amortecimento, representada por . A razão de amortecimento indica o quanto o sistema é amortecido, ou seja, como a oscilação vai diminuindo com o tempo. Ela é dada por:
Aqui, é a constante de amortecimento, e usamos a que já calculamos para facilitar a expressão.
Passo 5
Agora, vamos substituir e na equação que simplificamos no Passo 2. Ficamos com:
Essa substituição mostra que a nossa equação original pode, de fato, ser reescrita na forma genérica que queríamos.
Resposta
A dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor pode ser descrita pela equação de segunda ordem genérica: