Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( m ddotx+c dotx+k x=0 ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
ddotx+2 zeta omegan dotx+omegan^2 x=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado, que é:
m ddotx + c dotx + k x = 0
O objetivo é mostrar que essa equação pode ser escrita de uma forma mais genérica, que é:
ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como frequência natural ( omegan) e a razão de amortecimento ( zeta), e fazer umas manobras algébricas pra chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação original dividindo todos os termos por m. Isso ajuda a deixar a ddotx com coeficiente 1, o que facilita a comparação com a forma genérica. Assim:
ddotx + cm dotx + km x = 0
Agora, a equação tá mais limpa e com os coeficientes facilitando o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos identificar a frequência natural do sistema, denotada por omegan. A frequência natural é a frequência na qual o sistema oscilaria se não tivesse amortecimento nem forças externas. Ela é calculada por:
omegan = raizkm
Essa fórmula surge da relação entre a constante da mola ( k) e a massa ( m) do sistema.

Passo 4

O próximo conceito é a razão de amortecimento, representada por zeta. A razão de amortecimento indica o quanto o sistema é amortecido, ou seja, como a oscilação vai diminuindo com o tempo. Ela é dada por:
zeta = c2 raizm k = c2 m omegan
Aqui, c é a constante de amortecimento, e usamos a omegan que já calculamos para facilitar a expressão.

Passo 5

Agora, vamos substituir omegan e zeta na equação que simplificamos no Passo 2. Ficamos com:
ddotx + cm dotx + km x = ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0
Essa substituição mostra que a nossa equação original pode, de fato, ser reescrita na forma genérica que queríamos.

Resposta

A dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor pode ser descrita pela equação de segunda ordem genérica:
ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0

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