Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( m ddotx+c dotx+k x=0 ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
ddotx+2 zeta omegan dotx+omegan^2 x=0
Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação (m ddotx+c dotx+k x=0) é dada por:
x(t)=(x0+(dotx0+omegan x0) t) e^-omegan t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me passou envolve um sistema massa-mola-amortecedor que não está sujeito a forças externas. A equação que descreve esse sistema é:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Aqui, ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0 é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, e é o deslocamento. Nosso objetivo é mostrar que essa equação pode ser reescrita de forma genérica como:
Depois, precisamos encontrar a solução dessa equação para o caso de amortecimento crítico, ou seja, quando a razão de amortecimento é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são omegan = raizkm e zeta = c2 raizm k .
  • Frequência natural ( ): É a frequência com que o sistema oscila quando não há amortecimento ( ) e nenhuma força externa atuando. Ela é dada por:
  • Razão de amortecimento ( ): Mede quão rapidamente o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar. É definida como:
Esses dois parâmetros são essenciais para caracterizar o comportamento do sistema.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação original usando ddotx + cm dotx + km x = 0 e ddotx + 2 zeta omegan dotx + omegan^2 x = 0 .
Começamos dividindo toda a equação por :
Sabemos que , então .
Além disso, (já que e ).
Substituindo esses valores na equação, temos:
E assim, mostramos que a dinâmica do sistema pode ser descrita dessa forma genérica.

Passo 4

Agora, vamos focar no caso específico de amortecimento crítico, onde ddotx + 2 omegan dotx + omegan^2 x = 0 .
Substituindo x(t) = (A + B t) e^-omegan t na equação genérica, fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais. Seja x(0) = (A + B cdot 0) e^0 = A = x0 e dotx(t) = B e^-omegan t + (A + B t)(- omegan) e^-omegan t .
Primeiro, calculamos dotx(0) = B - omegan A = dotx0 :
B - omegan x0 = dotx0 Rightarrow B = dotx0 + omegan x0
Então, .
Agora, calculamos a derivada de :
Avaliado em :
Substituindo :

Resposta

A solução da equação para o sistema criticamente amortecido é:
x(t)=(x0+(dotx0+omegan x0) t) e^-omegan t

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