Baseado na equação de um sistema massa-mola-amortecedor não forçado ( ), mostre que a dinâmica de um sistema de segunda ordem pode ser descrita, de maneira genérica, por:
Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me passou envolve um sistema massa-mola-amortecedor que não está sujeito a forças externas. A equação que descreve esse sistema é:
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, e é o deslocamento. Nosso objetivo é mostrar que essa equação pode ser reescrita de forma genérica como:
Depois, precisamos encontrar a solução dessa equação para o caso de amortecimento crítico, ou seja, quando a razão de amortecimento é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e .
Frequência natural (): É a frequência com que o sistema oscila quando não há amortecimento () e nenhuma força externa atuando. Ela é dada por:
Razão de amortecimento (): Mede quão rapidamente o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar. É definida como:
Esses dois parâmetros são essenciais para caracterizar o comportamento do sistema.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação original usando e .
Começamos dividindo toda a equação por :
Sabemos que , então .
Além disso, (já que e ).
Substituindo esses valores na equação, temos:
E assim, mostramos que a dinâmica do sistema pode ser descrita dessa forma genérica.
Passo 4
Agora, vamos focar no caso específico de amortecimento crítico, onde .
Substituindo na equação genérica, fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais. Seja e .
Primeiro, calculamos :
Então, .
Agora, calculamos a derivada de :
Avaliado em :
Substituindo :
Resposta
A solução da equação para o sistema criticamente amortecido é: