Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar: No mínimo 4 defeituosos
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre a probabilidade de encontrar componentes defeituosos em uma amostra. A gente está lidando com Probabilidade Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas (no caso, 8 componentes), duas possibilidades em cada tentativa (defeituoso ou não), e a probabilidade de sucesso (defeito) é a mesma em cada tentativa (0,05). Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para calcular a probabilidade de encontrar pelo menos 4 defeituosos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “no mínimo 4 defeituosos”. Isso quer dizer que queremos calcular a probabilidade de ter 4, 5, 6, 7 ou 8 defeituosos na amostra de 8 componentes. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Para calcular cada uma dessas probabilidades, vamos usar a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
- $ n = 8 $ (número total de componentes)
- $ k $ é o número de defeituosos que queremos calcular (4, 5, 6, 7, 8)
- $ p = 0,05 $ (probabilidade de um componente ser defeituoso)
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ defeituosos entre $ n $ componentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
- Para $ k = 4 $:
- Para $ k = 5 $:
- Para $ k = 6 $:
- Para $ k = 7 $:
- Para $ k = 8 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada um desses valores:
- Para $ k = 4 $:
- Para $ k = 5 $:
- Para $ k = 6 $:
- Para $ k = 7 $:
- Para $ k = 8 $:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 4) $:
Resposta
A probabilidade de encontrar no mínimo 4 componentes defeituosos em uma amostra de 8 é aproximadamente 0,0371%.