Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar: No mínimo 4 defeituosos

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre a probabilidade de encontrar componentes defeituosos em uma amostra. A gente está lidando com Probabilidade Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas (no caso, 8 componentes), duas possibilidades em cada tentativa (defeituoso ou não), e a probabilidade de sucesso (defeito) é a mesma em cada tentativa (0,05). Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para calcular a probabilidade de encontrar pelo menos 4 defeituosos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “no mínimo 4 defeituosos”. Isso quer dizer que queremos calcular a probabilidade de ter 4, 5, 6, 7 ou 8 defeituosos na amostra de 8 componentes. Matematicamente, isso é representado por:
P(X >= 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

Passo 3

Para calcular cada uma dessas probabilidades, vamos usar a fórmula da distribuição binomial:
P(X=k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 8 $ (número total de componentes)
  • $ k $ é o número de defeituosos que queremos calcular (4, 5, 6, 7, 8)
  • $ p = 0,05 $ (probabilidade de um componente ser defeituoso)
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ defeituosos entre $ n $ componentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ k = 4 $:
k = 4
  1. Para $ k = 5 $:
P(X=4) = binom84 (0,05)^4 (0,95)^4
  1. Para $ k = 6 $:
k = 5
  1. Para $ k = 7 $:
P(X=5) = binom85 (0,05)^5 (0,95)^3
  1. Para $ k = 8 $:
k = 6

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um desses valores:
  1. Para $ k = 4 $:
k = 4
binom84 = 70
  1. Para $ k = 5 $:
P(X=4) = 70 times (0,05)^4 times (0,95)^4 approx 70 times 0,00000625 times 0,8145 approx 0,000356
k = 5
  1. Para $ k = 6 $:
binom85 = 56
P(X=5) = 56 times (0,05)^5 times (0,95)^3 approx 56 times 0,0000003125 times 0,8574 approx 0,000015
  1. Para $ k = 7 $:
k = 6
binom86 = 28
  1. Para $ k = 8 $:
P(X=6) = 28 times (0,05)^6 times (0,95)^2 approx 28 times 0,000000015625 times 0,9025 approx 0,0000004
k = 7

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 4) $:
P(X >= 4)

Resposta

A probabilidade de encontrar no mínimo 4 componentes defeituosos em uma amostra de 8 é aproximadamente 0,0371%.

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