Para X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 20 obtenha: o valor a, tal que P(E(X)-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 100 $ e desvio padrão $ \sigma = 20 $. A pergunta quer saber qual valor de $ a $ faz com que a probabilidade de $ X $ estar entre $ \mu - a $ e $ \mu + a $ seja 95%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e tabela Z.

Passo 2

Primeiro, lembrando que na distribuição normal, a área sob a curva representa probabilidade. Queremos encontrar $ a $ tal que 95% da área esteja entre $ \mu - a $ e $ \mu + a $.

Passo 3

Para achar esse $ a $, vamos padronizar a variável $ X $. Isso significa convertê-la para a distribuição normal padrão $ Z $, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:
a
No nosso caso:
X

Passo 4

A probabilidade que queremos é $ P(\mu - a < X < \mu + a) = 0,95 $. Substituindo $ X $ pela expressão em termos de $ Z $:
P(mu - a < X < mu + a) = 0,95
Simplificando:
X

Passo 5

Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então a probabilidade de $ Z $ estar entre $ -z $ e $ z $ é 95%. Precisamos encontrar o valor de $ z $ que corresponde a essa área de 95%. Olhando na tabela Z, vemos que $ z $ aproximadamente igual a 1,96 cobre 95% da área central.

Passo 6

Agora, igualamos $ \frac{a}{20} $ a esse valor de $ z $:
a20
Para encontrar $ a $, basta multiplicar ambos os lados por 20:
z

Resposta

Portanto, o valor de $ a $ é aproximadamente $ 39,2 $.

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