Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição exponencial de média 1500 h . Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira que após 1200 h a probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâmpadas cuja vida útil segue uma distribuição exponencial com média de 1500 horas. Queremos descobrir qual o número mínimo de lâmpadas que precisamos instalar para que, após 1200 horas, exista pelo menos uma lâmpada funcionando com probabilidade de 90%.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos, como a falha de uma lâmpada. A média dessa distribuição é 1500 horas, o que nos dá a taxa de falha lambda = 11500 por hora.

Passo 3

A probabilidade de uma única lâmpada ainda estar funcionando após 1200 horas é dada por:
P(X > 1200) = e^-lambda t = e^-12001500 = e^-0,8
Calculando isso, temos:
e^-0,8 approx 0,4493

Passo 4

Queremos que pelo menos uma lâmpada esteja funcionando após 1200 horas com probabilidade de 90%, ou seja:
P(pelo menos uma funciona) >= 0,90
Isso é equivalente a dizer que a probabilidade de todas as lâmpadas terem falhado é no máximo 10%:
P(todas falham) <= 0,10

Passo 5

Se temos n lâmpadas, a probabilidade de todas falharem é:
P(todas falham) = (1 - P(X > 1200))^n = (1 - 0,4493)^n = (0,5507)^n
Queremos que isso seja menor ou igual a 0,10:
(0,5507)^n <= 0,10

Passo 6

Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln((0,5507)^n) <= ln(0,10)
Usando a propriedade dos logaritmos:
n cdot ln(0,5507) <= ln(0,10)

Passo 7

Isolando n, temos:
n >= ln(0,10)ln(0,5507)
Calculando os valores:
n >= -2,3026-0,5978 approx 3,85

Passo 8

Como o número de lâmpadas precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
n = 4

Resposta

O número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas é 4.

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