Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição exponencial de média 1500 h . Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira que após 1200 h a probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90 ?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâmpadas cuja vida útil segue uma distribuição exponencial com média de 1500 horas. Queremos descobrir qual o número mínimo de lâmpadas que precisamos instalar para que, após 1200 horas, exista pelo menos uma lâmpada funcionando com probabilidade de 90%.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos, como a falha de uma lâmpada. A média dessa distribuição é 1500 horas, o que nos dá a taxa de falha
por hora.
Passo 3
A probabilidade de uma única lâmpada ainda estar funcionando após 1200 horas é dada por:
Calculando isso, temos:
Passo 4
Queremos que pelo menos uma lâmpada esteja funcionando após 1200 horas com probabilidade de 90%, ou seja:
Isso é equivalente a dizer que a probabilidade de todas as lâmpadas terem falhado é no máximo 10%:
Passo 5
Se temos
lâmpadas, a probabilidade de todas falharem é:
Queremos que isso seja menor ou igual a 0,10:
Passo 6
Para resolver essa inequação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos:
Passo 7
Isolando
, temos:
Calculando os valores:
Passo 8
Como o número de lâmpadas precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas é 4.