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UNiveRSO
PROTOCOLOI
NARRADO
LISTA DE EXERCICIOS - 24 Que
Questão 13 UNIVERSO NARRADO (2024) #25699
(Professor Carlos Eduardo) Um estudante, que se encontrava no laboratório de física, realizou o seguinte experimento: colocou um balde furado preso a uma das extremidades de uma corda e o pendurou com auxílio de uma polia. A outra extremidade da corda se encontra presa à parede. Um pulso parte das proximidades da parede em direção a polia. No instante que o pulso começa a se propagar, uma quantidade de água, de massa
, é colocada no interior do balde. Encontre a distância percorrida pelo enquanto a massa de água dentro do balde se reduz à metade.
Consideraçőes:
- A taxa de variação de massa com o tempo devido o furo é dado por:
;
- Considere que os pingos deixem o balde partindo do repouso;
- A densidade linear da corda vale
;
- Considere desprezível a massa do balde e a massa da corda em relação à massa de água;
- Gravidade local vale g.
C
UNiveRSO
PROTOCOLOI
NARRADO
LISTA DE EXERCICIOS - 24 Que
Questão 13 UNIVERSO NARRADO (2024) #25699
(Professor Carlos Eduardo) Um estudante, que se encontrava no laboratório de física, realizou o seguinte experimento: colocou um balde furado preso a uma das extremidades de uma corda e o pendurou com auxílio de uma polia. A outra extremidade da corda se encontra presa à parede. Um pulso parte das proximidades da parede em direção a polia. No instante que o pulso começa a se propagar, uma quantidade de água, de massa
Consideraçőes:
C
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento envolvendo uma corda com uma polia, um balde com água preso na corda e uma parede. Um pulso (ou onda) viaja pela corda desde a parede até a polia. Enquanto isso, a água vai saindo do balde por um furo, e queremos descobrir quanta distância esse pulso percorre enquanto a massa de água no balde diminui para a metade de seu valor inicial.
Conteúdo da matéria envolvida:
- Propagação de ondas em uma corda.
- Taxa de variação de massa com o tempo.
- Relações entre força, massa e aceleração (leis de Newton).
- Equações diferenciais simples.
Vamos precisar usar a fórmula da velocidade de propagação de ondas em uma corda e entender como a massa da água está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como a massa de água no balde está mudando com o tempo. A taxa de variação da massa é dada por:
Esse é um tipo de equação diferencial que podemos resolver para encontrar a massa $ m $ em função do tempo $ t $.
Passo 3
Vamos separar as variáveis para resolver a equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Considerando que no tempo $ t = 0 $, a massa é $ m_0 $:
Então, a solução da equação é:
Passo 4
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a massa $ m $ reduz para metade, ou seja, $ m = \frac{m_0}{2} $. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade de propagação do pulso na corda. A velocidade $ v $ de uma onda em uma corda é dada por:
Onde $ T $ é a tensão na corda e $ \mu $ é a densidade linear da corda. A tensão $ T $ é igual ao peso da massa de água no balde:
No instante inicial, a tensão é:
Então, a velocidade inicial é:
Passo 6
Durante o tempo $ t $ que calculamos, a massa está diminuindo, mas queremos a distância percorrida pelo pulso desde o início até que a massa seja a metade. A distância $ L $ percorrida é a velocidade multiplicada pelo tempo:
Substituindo $ v $ e $ t $:
Simplificando:
Resposta
A distância percorrida pelo pulso enquanto a massa de água no balde se reduz à metade é: