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Questão 13 UNIVERSO NARRADO (2024) #25699
(Professor Carlos Eduardo) Um estudante, que se encontrava no laboratório de física, realizou o seguinte experimento: colocou um balde furado preso a uma das extremidades de uma corda e o pendurou com auxílio de uma polia. A outra extremidade da corda se encontra presa à parede. Um pulso parte das proximidades da parede em direção a polia. No instante que o pulso começa a se propagar, uma quantidade de água, de massa m0, é colocada no interior do balde. Encontre a distância percorrida pelo enquanto a massa de água dentro do balde se reduz à metade.
Consideraçőes:
  • A taxa de variação de massa com o tempo devido o furo é dado por: d md t=-k raizm;
  • Considere que os pingos deixem o balde partindo do repouso;
  • A densidade linear da corda vale ^mu;
  • Considere desprezível a massa do balde e a massa da corda em relação à massa de água;
  • Gravidade local vale g.
    C L=m02 k raiz2 gmu

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento envolvendo uma corda com uma polia, um balde com água preso na corda e uma parede. Um pulso (ou onda) viaja pela corda desde a parede até a polia. Enquanto isso, a água vai saindo do balde por um furo, e queremos descobrir quanta distância esse pulso percorre enquanto a massa de água no balde diminui para a metade de seu valor inicial.
Conteúdo da matéria envolvida:
  • Propagação de ondas em uma corda.
  • Taxa de variação de massa com o tempo.
  • Relações entre força, massa e aceleração (leis de Newton).
  • Equações diferenciais simples.
Vamos precisar usar a fórmula da velocidade de propagação de ondas em uma corda e entender como a massa da água está diminuindo ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como a massa de água no balde está mudando com o tempo. A taxa de variação da massa é dada por:
dmdt = -k raizm
Esse é um tipo de equação diferencial que podemos resolver para encontrar a massa $ m $ em função do tempo $ t $.

Passo 3

Vamos separar as variáveis para resolver a equação diferencial:
dmraizm = -k , dt
Integrando ambos os lados:
2raizm = -kt + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Considerando que no tempo $ t = 0 $, a massa é $ m_0 $:
C
Então, a solução da equação é:
t = 0

Passo 4

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a massa $ m $ reduz para metade, ou seja, $ m = \frac{m_0}{2} $. Substituindo na equação:
t
Simplificando:
m
m = m02
2raizm02 = -kt + 2raizm0

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade de propagação do pulso na corda. A velocidade $ v $ de uma onda em uma corda é dada por:
v
Onde $ T $ é a tensão na corda e $ \mu $ é a densidade linear da corda. A tensão $ T $ é igual ao peso da massa de água no balde:
v = raizTmu
No instante inicial, a tensão é:
T
Então, a velocidade inicial é:
mu

Passo 6

Durante o tempo $ t $ que calculamos, a massa está diminuindo, mas queremos a distância percorrida pelo pulso desde o início até que a massa seja a metade. A distância $ L $ percorrida é a velocidade multiplicada pelo tempo:
t
Substituindo $ v $ e $ t $:
L
Simplificando:
L = v cdot t

Resposta

A distância percorrida pelo pulso enquanto a massa de água no balde se reduz à metade é:
L = m02 k raiz2 gmu

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