Calcule o momento de inércia de um bastão fino de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular ao bastão e que passa por:
c) por sua extremidade (usando o teorema dos eixos paralelos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o momento de inércia de um bastão fino com massa M e comprimento L. O eixo que a gente vai considerar é perpendicular ao bastão e passa por uma das suas extremidades. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos ajuda a encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Agora, precisamos saber qual é o momento de inércia do bastão em relação ao seu centro de massa. Para um bastão fino, esse valor é dado por:
Icm = 112 M L^2

Passo 4

O Teorema dos Eixos Paralelos nos diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo passando pelo centro de massa é:
I = Icm + M d^2
Onde:
  • Icm é o momento de inércia no centro de massa.
  • M é a massa do bastão.
  • d é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

No nosso caso, queremos o momento de inércia em relação a uma das extremidades do bastão. A distância d entre o centro de massa e a extremidade é metade do comprimento do bastão:
d = L2

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula do Teorema dos Eixos Paralelos:
I = 112 M L^2 + M (L2)^2
Simplificando:
I = 112 M L^2 + 14 M L^2
I = ( 112 + 312 ) M L^2
I = 412 M L^2
I = 13 M L^2

Resposta

O momento de inércia do bastão em relação ao eixo perpendicular que passa por uma de suas extremidades é:
I = 13 M L^2

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