Batatas (
e
) com diâmetro médio de 6 cm , inicialmente a temperatura de
, devem ser restriadas por ar refrigerado a
fluindo a velocidade de
. O coeficiente médio de transferència de calor entre as batatas
ar é determinado experimentalmente como
. Determine o tempo necessário para que a temperatura das batatas diminua para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais informações temos. Estamos lidando com um problema de Transferência de Calor, especificamente sobre resfriamento de um objeto (no caso, batatas) por convecção com o ar refrigerado. Precisamos calcular o tempo necessário para que a temperatura das batatas passe de 25°C para 6°C. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difusão térmica e coeficiente de transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os dados que a questão nos fornece:
- Condutividade térmica das batatas (K): 0,50 W/(m·K)
- Difusividade térmica (α): 0,13 × 10⁻⁶ m²/s
- Diâmetro médio das batatas (D): 6 cm → raio ® = 3 cm = 0,03 m
- Temperatura inicial das batatas (T₀): 25°C
- Temperatura do ar refrigerado (T_inf): 2°C
- Velocidade do ar (v): 3 m/s
- Coeficiente de transferência de calor (h): 19 W/(m²·K)
- Temperatura final desejada das batatas (T): 6°C
Passo 3
Vamos determinar se podemos usar o modelo de resfriamento unidimensional ou se precisamos considerar um modelo mais complexo. Para isso, calculamos o Número de Biot (Bi), que nos ajuda a decidir se o sistema pode ser considerado como lumped system (sistema acoplado).
A fórmula do Número de Biot é:
Onde
é o comprimento característico. Para uma esfera:
Substituindo os valores:
Como
, não podemos usar o modelo de sistema acoplado e precisamos considerar a transferência de calor dentro da batata de forma mais detalhada.
Passo 4
Vamos usar a equação de transferência de calor para esferas em regime transiente. A solução envolve séries infinitas, mas para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo da série, que geralmente já dá uma boa aproximação para o tempo de resfriamento.
A equação simplificada é:
Onde:
-
é a temperatura das batatas no tempo -
é a temperatura do ar ambiente -
é a temperatura inicial das batatas -
é a difusividade térmica -
é o raio das batatas
Passo 5
Queremos encontrar
quando
. Substituindo os valores na equação:
Primeiro, calculamos o lado esquerdo:
Então, temos:
Passo 6
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura das batatas diminua para 6°C é aproximadamente 123 segundos.