Batatas ( K=0,50 W / m K e a=0,13 times 10^-6 m^2 / s ) com diâmetro médio de 6 cm , inicialmente a temperatura de 25^circ C, devem ser restriadas por ar refrigerado a 2^circ C fluindo a velocidade de 3 m / s. O coeficiente médio de transferència de calor entre as batatas e circ ar é determinado experimentalmente como 19 W / m^2 K. Determine o tempo necessário para que a temperatura das batatas diminua para 6^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais informações temos. Estamos lidando com um problema de Transferência de Calor, especificamente sobre resfriamento de um objeto (no caso, batatas) por convecção com o ar refrigerado. Precisamos calcular o tempo necessário para que a temperatura das batatas passe de 25°C para 6°C. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difusão térmica e coeficiente de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os dados que a questão nos fornece:
  • Condutividade térmica das batatas (K): 0,50 W/(m·K)
  • Difusividade térmica (α): 0,13 × 10⁻⁶ m²/s
  • Diâmetro médio das batatas (D): 6 cm → raio ® = 3 cm = 0,03 m
  • Temperatura inicial das batatas (T₀): 25°C
  • Temperatura do ar refrigerado (T_inf): 2°C
  • Velocidade do ar (v): 3 m/s
  • Coeficiente de transferência de calor (h): 19 W/(m²·K)
  • Temperatura final desejada das batatas (T): 6°C

Passo 3

Vamos determinar se podemos usar o modelo de resfriamento unidimensional ou se precisamos considerar um modelo mais complexo. Para isso, calculamos o Número de Biot (Bi), que nos ajuda a decidir se o sistema pode ser considerado como lumped system (sistema acoplado).
A fórmula do Número de Biot é:
Bi = h cdot LcK
Onde Lc = r3 = 0,033 = 0,01 , m é o comprimento característico. Para uma esfera:
Bi = 19 times 0,010,50 = 0,38
Substituindo os valores:
Como , não podemos usar o modelo de sistema acoplado e precisamos considerar a transferência de calor dentro da batata de forma mais detalhada.

Passo 4

Vamos usar a equação de transferência de calor para esferas em regime transiente. A solução envolve séries infinitas, mas para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo da série, que geralmente já dá uma boa aproximação para o tempo de resfriamento.
A equação simplificada é:
T(t) - TinftyT0 - Tinfty = e^-alpha cdot pi^2 cdot tr^2
Onde:
  • é a temperatura das batatas no tempo
  • é a temperatura do ar ambiente
  • é a temperatura inicial das batatas
  • é a difusividade térmica
  • é o raio das batatas

Passo 5

Queremos encontrar 6 - 225 - 2 = e^-0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t0,03^2 quando 423 approx 0,1739 . Substituindo os valores na equação:
0,1739 = e^-0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t0,0009
Primeiro, calculamos o lado esquerdo:
Então, temos:

Passo 6

Para resolver para ln(0,1739) = -0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t0,0009 , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(0,1739) approx -1,749
Calculando o logaritmo:
-1,749 = -0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t0,0009
Então:

Passo 7

Agora, isolamos 1,749 = 0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t0,0009 :
1,749 times 0,0009 = 0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t
Multiplicando ambos os lados por 0,0015741 = 0,13 times 10^-6 cdot pi^2 cdot t :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para t = 0,00157410,13 times 10^-6 cdot pi^2 :
0,13 times 10^-6 cdot pi^2 approx 0,13 times 10^-6 times 9,8696 approx 1,282 times 10^-5
Calculando o denominador:
t = 0,00157411,282 times 10^-5 approx 122,7 , segundos
Então:

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura das batatas diminua para 6°C é aproximadamente 123 segundos.

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