Bolas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150 K seguido pelo resfriamento lento até 400 K cm um ambiente com ar a Tinfty=325 Ke h=20 W /(m^2 cdot K). Supondo que as propriedades do aço sejam k=40 W /(m cdot K), rho=7800 kg / m^3 e c=600 J /(kg cdot K), estime o tempo necessário para o processo de resfriamento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos bolas de aço com diâmetro de 12 mm que são aquecidas até 1150 K e depois esfriadas lentamente até 400 K em um ambiente com ar a uma temperatura de . A transferência de calor ocorre com um coeficiente de convecção . As propriedades do aço são dadas: condutividade térmica , densidade e capacidade calorífica específica . Nosso objetivo é estimar o tempo necessário para esse processo de resfriamento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente o Método da Capacitância Agregada (ou Método de Newton), que nos ajuda a calcular o tempo de resfriamento de objetos.

Passo 2

Primeiro, precisamos ver se podemos aplicar o Método da Capacitância Agregada. Para isso, calculamos o Número de Biot ( Bi = h cdot Lck ), que é uma razão entre a resistência interna à transferência de calor e a resistência externa:
Onde é a dimensão característica do objeto. Para uma esfera, geralmente usamos o raio.

Passo 3

Vamos calcular o raio da bola de aço. O diâmetro é 12 mm, então:
r = 122 = 6 , mm = 0,006 , m
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos o Número de Biot:
Bi = 20 times 0,00640 = 0,1240 = 0,003
Como , podemos usar o Método da Capacitância Agregada para simplificar os cálculos.

Passo 5

O tempo de resfriamento pode ser estimado pela equação:
t = rho cdot c cdot Vh cdot A cdot ln(T0 - TinftyT - Tinfty)
Onde:
  • é o volume da esfera
  • é a área da superfície da esfera
  • é a temperatura inicial
  • é a temperatura final

Passo 6

Vamos calcular o volume V = 43 pi r^3 = 43 pi (0,006)^3 approx 9,05 times 10^-7 , m^3 e a área A = 4 pi r^2 = 4 pi (0,006)^2 approx 4,52 times 10^-3 , m^2 da esfera.
Volume da esfera:
Área da superfície:

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na equação do tempo:
t = 7800 times 600 times 9,05 times 10^-720 times 4,52 times 10^-3 cdot ln(1150 - 325400 - 325)
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o numerador:
7800 times 600 times 9,05 times 10^-7 approx 4,242 , J/K
Segundo, o denominador:
20 times 4,52 times 10^-3 approx 0,0904 , W/K
Então,
t = 4,2420,0904 cdot ln(82575) approx 46,93 cdot ln(11) approx 46,93 times 2,398 approx 112,7 , segundos

Resposta

O tempo necessário para o processo de resfriamento é de aproximadamente 113 segundos.

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