Em uma instalação de produção, placas grandes de bronze ( k=110 W/m.K, rho=8530 kg / m^3, Cp=380 J / kg K e alpha=33,9 times 10^-6 m^2 / s ) de 3 cm de espessura que estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 25^circ C, são aquecidas pela passagem no forno mantido a 700^circ C. As placas permanecem no forno durante 10 minutos. Considerando o coeficiente de transferência de calor por convecção h= 80 W / m^2 K, determine a temperatura da superfície das placas quando saem do forno.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem placas grandes de bronze que estão sendo aquecidas em um forno. A placa tem 3 cm de espessura e começa com uma temperatura de 25°C. O forno está a 700°C e as placas ficam lá por 10 minutos. A gente quer saber qual vai ser a temperatura da superfície das placas quando elas sairem do forno. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção e difusão de calor. Vamos precisar das propriedades térmicas do bronze que nos foram dadas e aplicar a Lei do Resfriamento de Newton de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando a placa entra no forno, o calor é transferido do ar quente do forno para a superfície da placa por convecção. Esse calor então se difunde para o interior da placa, aumentando sua temperatura. Queremos descobrir qual será a temperatura na superfície depois de 10 minutos.

Passo 3

Vamos verificar se podemos usar o Método da Capacidade Calorífica Uniforme (ou método do sistema concentrado), que simplifica o problema assumindo que a temperatura dentro do objeto é uniforme durante o tempo considerado. Para isso, a gente calcula o Número de Biot (Bi):
Bi = h cdot Lck
Onde:
  • Bi = 80 times 0,015110 approx 0,0109 (coeficiente de convecção)
  • (comprimento característico)
  • (condutividade térmica)
Vamos calcular:
Como , podemos usar o Método da Capacidade Calorífica Uniforme.

Passo 4

A equação que descreve a variação da temperatura com o tempo nesse método é:
T(t) - TinftyT0 - Tinfty = e^-h cdot A cdot trho cdot V cdot Cp
Mas como estamos considerando uma placa com geometria simples, podemos simplificar para:
T(t) = Tinfty + (T0 - Tinfty) cdot e^-h cdot trho cdot Cp cdot Lc
Onde:
  • é a temperatura na superfície após o tempo
  • (temperatura do forno)
  • (temperatura inicial)
  • (densidade)
  • (capacidade calorífica)
  • (tempo)

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na equação:
T(600) = 700 + (25 - 700) cdot e^-80 times 6008530 times 380 times 0,015
Vamos calcular o expoente primeiro:
80 times 6008530 times 380 times 0,015 = 480008530 times 380 times 0,015 approx 480004851 approx 9,89
Então:
T(600) = 700 + (-675) cdot e^-9,89
Sabemos que e^-9,89 approx 5,1 times 10^-5 é bem pequeno, praticamente quase zero, mas vamos calcular:
T(600) = 700 - 675 times 5,1 times 10^-5 approx 700 - 0,034 approx 699,966^circ C
Substituindo de novo:

Resposta

A temperatura da superfície das placas quando saem do forno é aproximadamente 700°C.

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