Em uma bateria NiCd , uma célula completamente carregada é composta de hidróxido de níquel III. O níquel é um elemento que tem múltiplos estados de oxidação. Considere as seguintes proporções dos estados:
Carga de Níquel Proporções encontradas
0 0,17
+2 0,35
+3 0,33
+4 0,15
(a) Determine a função de distribuição acumulada da carga de níquel;
(b) Determine a esperança e o desvio-padrão da carga de níquel.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre química e estatística. A gente tem uma célula de bateria NiCd, onde o níquel pode ter diferentes cargas: 0, +2, +3 e +4. As proporções dessas cargas são dadas. A primeira parte do exercício (a) pede para a gente determinar a função de distribuição acumulada da carga de níquel, enquanto a segunda parte (b) quer que a gente encontre a esperança (a média) e o desvio-padrão dessa carga. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de probabilidade, funções acumuladas, esperança matemática e desvio-padrão.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). A função de distribuição acumulada (FDA) é uma função que, para qualquer valor x, nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a x. Aqui, nossa variável aleatória é a carga de níquel. Então, vamos organizar as cargas e suas proporções de forma crescente para facilitar o cálculo.

Passo 3

Primeiro, listamos as cargas de níquel em ordem crescente junto com suas proporções:
  • Carga 0: 0,17
  • Carga +2: 0,35
  • Carga +3: 0,33
  • Carga +4: 0,15

Passo 4

Agora, vamos calcular a função de distribuição acumulada (FDA). Para cada carga, somamos as proporções das cargas menores ou iguais a ela.
  • Para x < 0: FDA = 0
  • Para 0 ≤ x < 2: FDA = 0,17
  • Para 2 ≤ x < 3: FDA = 0,17 + 0,35 = 0,52
  • Para 3 ≤ x < 4: FDA = 0,52 + 0,33 = 0,85
  • Para x ≥ 4: FDA = 0,85 + 0,15 = 1,00

Passo 5

Então, a função de distribuição acumulada F(x) = 0 & se x < 0 0,17 & se 0 <= x < 2 0,52 & se 2 <= x < 3 0,85 & se 3 <= x < 4 1,00 & se x >= 4 fica assim:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). A esperança matemática, ou média, de uma variável aleatória discreta é calculada somando o produto de cada valor pela sua probabilidade. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, que é a média dos quadrados menos o quadrado da média.

Passo 7

Primeiro, calculamos a esperança E[X] = sumi xi cdot pi = 0 cdot 0,17 + 2 cdot 0,35 + 3 cdot 0,33 + 4 cdot 0,15 :
0 cdot 0,17 = 0
Calculando cada termo:
2 cdot 0,35 = 0,70
3 cdot 0,33 = 0,99
4 cdot 0,15 = 0,60
E[X] = 0 + 0,70 + 0,99 + 0,60 = 2,29
Somando tudo:

Passo 8

Agora, vamos calcular a variância E[X^2] = sumi xi^2 cdot pi = 0^2 cdot 0,17 + 2^2 cdot 0,35 + 3^2 cdot 0,33 + 4^2 cdot 0,15 , que é 0^2 cdot 0,17 = 0 . Primeiro, calculamos 2^2 cdot 0,35 = 4 cdot 0,35 = 1,40 :
3^2 cdot 0,33 = 9 cdot 0,33 = 2,97
Calculando cada termo:
4^2 cdot 0,15 = 16 cdot 0,15 = 2,40
E[X^2] = 0 + 1,40 + 2,97 + 2,40 = 6,77
Somando tudo:

Passo 9

Agora, calculamos a variância:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6,77 - (2,29)^2 = 6,77 - 5,24 = 1,53
E o desvio-padrão sigma = raizVar(X) = raiz1,53 approx 1,24 é a raiz quadrada da variância:

Resposta

(a) A função de distribuição acumulada F(x) = 0 & se x < 0 0,17 & se 0 <= x < 2 0,52 & se 2 <= x < 3 0,85 & se 3 <= x < 4 1,00 & se x >= 4 da carga de níquel é:
(b) A esperança da carga de níquel é e o desvio-padrão é aproximadamente .

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