Suponha que
, para
. Determine as seguintes probabilidades: Determine
tal que
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá uma função
para
e nos pede para encontrar o valor de
tal que a probabilidade de
ser maior que
seja 0,1. Esse problema está na área de distribuição de probabilidade, mais especificamente envolvendo a distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a probabilidade acumulada dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que queremos encontrar o valor de
onde a probabilidade de a variável aleatória
ser maior que esse
é de 10%. Na distribuição exponencial, a função de sobrevivência, que é justamente
, é dada por:
Onde
é a taxa da distribuição. No nosso caso, a função
já está na forma padrão, onde
.
Passo 3
Agora, vamos igualar a função de sobrevivência a 0,1 e resolver para
:
Substituindo
:
Passo 4
Para resolver essa equação para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então temos:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, o valor de
que satisfaz
é: