Suponha que f(x)=e^-x, para x>0. Determine as seguintes probabilidades: Determine x tal que P(X>x)=0,1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá uma função f(x) = e^-x para x > 0 e nos pede para encontrar o valor de x tal que a probabilidade de X ser maior que x seja 0,1. Esse problema está na área de distribuição de probabilidade, mais especificamente envolvendo a distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a probabilidade acumulada dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa P(X > x) = 0,1. Isso quer dizer que queremos encontrar o valor de x onde a probabilidade de a variável aleatória X ser maior que esse x é de 10%. Na distribuição exponencial, a função de sobrevivência, que é justamente P(X > x), é dada por:
P(X > x) = e^-lambda x
Onde lambda é a taxa da distribuição. No nosso caso, a função f(x) = e^-x já está na forma padrão, onde lambda = 1.

Passo 3

Agora, vamos igualar a função de sobrevivência a 0,1 e resolver para x:
e^-lambda x = 0,1
Substituindo lambda = 1:
e^-x = 0,1

Passo 4

Para resolver essa equação para x, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(e^-x) = ln(0,1)
Sabemos que ln(e^-x) = -x, então temos:
-x = ln(0,1)

Passo 5

Agora, isolamos x multiplicando ambos os lados por -1:
x = -ln(0,1)
Sabemos que ln(0,1) = -ln(10), então:
x = -(-ln(10)) = ln(10)

Resposta

Portanto, o valor de x que satisfaz P(X > x) = 0,1 é:
x = ln(10) approx 2,3026

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