A variável aleatória X tem uma distribuição binomial, com n=10 e p=0,01. Determine as seguintes probabilidades: P(3 <= X<5)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com tentativas e probabilidade de sucesso em cada tentativa. A pergunta é para encontrar a probabilidade de ser pelo menos 3, mas menor que 5, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da distribuição binomial e como aplicá-la para calcular as probabilidades específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de obter exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k sucessos em tentativas é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de falha em uma única tentativa.

Passo 3

Para encontrar , vamos calcular e e então somar essas probabilidades, já que ser 3 ou 4 satisfaz a condição .

Passo 4

Vamos calcular P(X = 3) = binom103 (0,01)^3 (0,99)^7 :
binom103 = 10!3! cdot (10 - 3)! = 120
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 3) = 120 times (0,01)^3 times (0,99)^7 approx 120 times 0,000001 times 0,9320653479 approx 0,0001118478
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X = 4) = binom104 (0,01)^4 (0,99)^6 :
binom104 = 10!4! cdot (10 - 4)! = 210
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 4) = 210 times (0,01)^4 times (0,99)^6 approx 210 times 0,00000001 times 0,9414801494 approx 0,000001977
Então:

Passo 6

Agora que temos P(3 <= X < 5) = P(X = 3) + P(X = 4) approx 0,0001118478 + 0,000001977 approx 0,0001138248 e , vamos somar essas probabilidades para encontrar :

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,0001138.

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