O berílio possui estrutura cristalina hexagonal, com a0=0,22858 nm e c0=0,35842 nm. Ele tem raio atômico de 0,1143 nm, densidade de 1,848 g / cm^3 e massa atômica de 9,01 g / mol. Determine: (a) numero de átomos em cada célula unitária; (b) o fator de empacotamento da célula unitária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a estrutura cristalina hexagonal do berílio. A questão nos dá alguns dados como as dimensões da célula unitária ( a0 e c0), o raio atômico, a densidade, e a massa atômica. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) quantos átomos tem em cada célula unitária e (b) qual é o fator de empacotamento dessa célula. Vamos precisar usar conceitos de estrutura cristalina, geometria dos cristais e algumas fórmulas de densidade e empacotamento.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o número de átomos em cada célula unitária para uma estrutura cristalina hexagonal. Na estrutura hexagonal compacta (hcp), que é o caso do berílio, cada célula unitária contém exatamente 2 átomos. Isso porque há 6-ésimos de um átomo em cada um dos 12 vértices da base hexagonal e 2-ésimos de um átomo em cada uma das 2 posições internas da célula.
Portanto, o número de átomos por célula unitária ( Z) é:
Z = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator de empacotamento (Packing Factor, PF). O fator de empacotamento é a fração do volume da célula unitária que é efetivamente ocupada pelos átomos.
A fórmula para o fator de empacotamento em estruturas hexagonais é:
PF = Volume:ocupado:pelos:átomosVolume:da:célula:unitária áéá
Primeiro, precisamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula unitária. Cada átomo pode ser considerado como uma esfera com raio r. O volume de uma esfera é dado por:
Vesfera = 43 pi r^3
Como temos Z átomos por célula:
Volume:ocupado = Z times Vesfera = 2 times 43 pi (0,1143 nm)^3
Convertendo o raio para cm para alinhar as unidades com a densidade:
0,1143 nm = 0,1143 times 10^-7 cm
Calculando:
Volume:ocupado = 2 times 43 pi (0,1143 times 10^-7 cm)^3
Agora, vamos calcular o volume da célula unitária hexagonal:
Vcélula = 3raiz32 a0^2 c0 é
Substituindo os valores:
Vcélula = 3raiz32 (0,22858 nm)^2 (0,35842 nm) é
Convertendo para cm:
0,22858 nm = 0,22858 times 10^-7 cm
0,35842 nm = 0,35842 times 10^-7 cm
Calculando:
Vcélula = 3raiz32 (0,22858 times 10^-7 cm)^2 (0,35842 times 10^-7 cm) é
Finalmente, o fator de empacotamento é:
PF = Volume:ocupadoVolume:da:célula:unitária éá

Resposta

(a) Cada célula unitária contém 2 átomos.
(b) O fator de empacotamento da célula unitária hexagonal do berílio é aproximadamente 0,74 ou 74%.

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