O berílio possui estrutura cristalina hexagonal, com
e
. Ele tem raio atômico de
, densidade de
e massa atômica de 9,01
. Determine: (a) numero de átomos em cada célula unitária; (b) o fator de empacotamento da célula unitária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a estrutura cristalina hexagonal do berílio. A questão nos dá alguns dados como as dimensões da célula unitária (
e
), o raio atômico, a densidade, e a massa atômica. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) quantos átomos tem em cada célula unitária e (b) qual é o fator de empacotamento dessa célula. Vamos precisar usar conceitos de estrutura cristalina, geometria dos cristais e algumas fórmulas de densidade e empacotamento.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o número de átomos em cada célula unitária para uma estrutura cristalina hexagonal. Na estrutura hexagonal compacta (hcp), que é o caso do berílio, cada célula unitária contém exatamente 2 átomos. Isso porque há 6-ésimos de um átomo em cada um dos 12 vértices da base hexagonal e 2-ésimos de um átomo em cada uma das 2 posições internas da célula.
Portanto, o número de átomos por célula unitária (
) é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator de empacotamento (Packing Factor, PF). O fator de empacotamento é a fração do volume da célula unitária que é efetivamente ocupada pelos átomos.
A fórmula para o fator de empacotamento em estruturas hexagonais é:
Primeiro, precisamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula unitária. Cada átomo pode ser considerado como uma esfera com raio
. O volume de uma esfera é dado por:
Como temos
átomos por célula:
Convertendo o raio para cm para alinhar as unidades com a densidade:
Calculando:
Agora, vamos calcular o volume da célula unitária hexagonal:
Substituindo os valores:
Convertendo para cm:
Calculando:
Finalmente, o fator de empacotamento é:
Resposta
(a) Cada célula unitária contém 2 átomos.
(b) O fator de empacotamento da célula unitária hexagonal do berílio é aproximadamente 0,74 ou 74%.