(Bernoulli) Um experimento consiste em lançar uma moeda justa. Seja X a variável aleatória que assume valor 1 se sair cara, e 0 se sair coroa. Qual é o valor esperado e a variância de X?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um experimento onde lançamos uma moeda justa, ou seja, tem a mesma chance de dar cara ou coroa. A variável aleatória
vale 1 se sair cara e 0 se sair coroa. A gente precisa encontrar o valor esperado e a variância dessa variável. Vamos usar conceitos de probabilidades e estatística básica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. Ele basicamente nos diz qual é a média dos valores que a variável aleatória pode assumir, levando em conta as probabilidades de cada resultado. Para calcular o valor esperado
, usamos a fórmula:
Onde
são os valores que
pode assumir e
são as probabilidades desses valores.
Passo 3
No nosso caso,
pode ser 1 (cara) ou 0 (coroa). Como a moeda é justa, as probabilidades são:
Agora, aplicando na fórmula do valor esperado:
Então, o valor esperado de
é 0,5.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de
. A variância mede o quanto os valores da variável aleatória variam em relação ao valor esperado. A fórmula para a variância
é:
Primeiro, precisamos calcular
. Como
só pode ser 0 ou 1:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da variância:
Portanto, a variância de
é 0,25.
Resposta
O valor esperado de
é 0,5 e a variância de
é 0,25.