(Bernoulli) Um experimento consiste em lançar uma moeda justa. Seja X a variável aleatória que assume valor 1 se sair cara, e 0 se sair coroa. Qual é o valor esperado e a variância de X?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um experimento onde lançamos uma moeda justa, ou seja, tem a mesma chance de dar cara ou coroa. A variável aleatória vale 1 se sair cara e 0 se sair coroa. A gente precisa encontrar o valor esperado e a variância dessa variável. Vamos usar conceitos de probabilidades e estatística básica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. Ele basicamente nos diz qual é a média dos valores que a variável aleatória pode assumir, levando em conta as probabilidades de cada resultado. Para calcular o valor esperado E(X) = sumi xi cdot P(xi) , usamos a fórmula:
Onde são os valores que pode assumir e são as probabilidades desses valores.

Passo 3

No nosso caso, P(X = 1) = 0,5 e P(X = 0) = 0,5 pode ser 1 (cara) ou 0 (coroa). Como a moeda é justa, as probabilidades são:
E(X) = 1 cdot 0,5 + 0 cdot 0,5 = 0,5 + 0 = 0,5
Agora, aplicando na fórmula do valor esperado:
Então, o valor esperado de é 0,5.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . A variância mede o quanto os valores da variável aleatória variam em relação ao valor esperado. A fórmula para a variância E(X^2) = 0^2 cdot 0,5 + 1^2 cdot 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5 é:
Primeiro, precisamos calcular . Como só pode ser 0 ou 1:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da variância:
Var(X) = 0,5 - (0,5)^2 = 0,5 - 0,25 = 0,25
Portanto, a variância de é 0,25.

Resposta

O valor esperado de é 0,5 e a variância de é 0,25.

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