(Binomial) Suponha que uma moeda justa seja lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de se obter exatamente 6 caras?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse desafio juntos! A questão fala sobre lançar uma moeda justa 10 vezes e quer saber a probabilidade de dar exatamente 6 caras. A gente vai usar a Probabilidade Binomial para isso. Precisamos entender como aplicar essa fórmula para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos:
  • n (número de tentativas) = 10 lançamentos
  • k (número de sucessos desejados) = 6 caras
  • p (probabilidade de sucesso em cada tentativa) = 0,5 (já que a moeda é justa)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da Probabilidade Binomial, que é assim:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Aqui, binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras a gente pode obter 6 caras em 10 lançamentos.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom106. Isso é:
binom106 = 10!6! cdot (10-6)! = 10!6! cdot 4! = 210
Então, temos 210 maneiras de obter 6 caras em 10 lançamentos.

Passo 5

Agora, vamos calcular as potências de p e (1-p):
p^k = 0,5^6 = 164 approx 0,015625
(1-p)^n-k = 0,5^4 = 116 = 0,0625

Passo 6

Vamos multiplicar tudo na fórmula:
P(X = 6) = 210 cdot 0,015625 cdot 0,0625
Primeiro, multiplicamos 0,015625 por 0,0625:
0,015625 cdot 0,0625 = 0,0009765625
Depois, multiplicamos por 210:
210 cdot 0,0009765625 = 0,205078125

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 6 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa é aproximadamente 0,205 ou 20,5%.

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