Dois números são escolhidos com reposição no conjunto C=1,2,3,4.
Sejam X o menor número obtido e Y o maior. Obtenha a distribuição conjunta de (X, Y). A seguir obtenha as marginais. X e Y são independentes?

Passo 1

Vamos resolver o problema onde dois números são escolhidos com reposição do conjunto . Definimos como o menor número obtido e como o maior. Nosso objetivo é encontrar a distribuição conjunta de , as distribuições marginais de e , e verificar se e são independentes. Para isso, precisamos entender conceitos de probabilidade como distribuição conjunta, distribuição marginal e independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis pares (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) que podem ser formados ao escolher dois números com reposição do conjunto . Como a escolha é com reposição, cada número pode ser repetido. O conjunto de todas as combinações possíveis é:
No total, temos combinações possíveis.

Passo 3

Agora, vamos definir (1,1) &Rightarrow X=1, Y=1 (1,2) &Rightarrow X=1, Y=2 (1,3) &Rightarrow X=1, Y=3 (1,4) &Rightarrow X=1, Y=4 (2,1) &Rightarrow X=1, Y=2 (2,2) &Rightarrow X=2, Y=2 (2,3) &Rightarrow X=2, Y=3 (2,4) &Rightarrow X=2, Y=4 (3,1) &Rightarrow X=1, Y=3 (3,2) &Rightarrow X=2, Y=3 (3,3) &Rightarrow X=3, Y=3 (3,4) &Rightarrow X=3, Y=4 (4,1) &Rightarrow X=1, Y=4 (4,2) &Rightarrow X=2, Y=4 (4,3) &Rightarrow X=3, Y=4 (4,4) &Rightarrow X=4, Y=4 como o menor número e como o maior número para cada par :

Passo 4

Com base nisso, podemos listar os pares (1,1) &: 1 (1,2) &: 2 (1,3) &: 2 (1,4) &: 2 (2,2) &: 1 (2,3) &: 2 (2,4) &: 2 (3,3) &: 1 (3,4) &: 2 (4,4) &: 1 e contar a frequência de cada combinação para determinar a distribuição conjunta.
Total de combinações: 16.

Passo 5

Agora, calculamos a probabilidade de cada par P(X=1, Y=1) &= 116 P(X=1, Y=2) &= 216 = 18 P(X=1, Y=3) &= 216 = 18 P(X=1, Y=4) &= 216 = 18 P(X=2, Y=2) &= 116 P(X=2, Y=3) &= 216 = 18 P(X=2, Y=4) &= 216 = 18 P(X=3, Y=3) &= 116 P(X=3, Y=4) &= 216 = 18 P(X=4, Y=4) &= 116 dividindo a frequência pela quantidade total de combinações:

Passo 6

Assim, a distribuição conjunta de c|cccc X backslash Y & 1 & 2 & 3 & 4 hline 1 & 116 & 18 & 18 & 18 2 & 0 & 116 & 18 & 18 3 & 0 & 0 & 116 & 18 4 & 0 & 0 & 0 & 116 é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as distribuições marginais de P(X=1) &= 116 + 18 + 18 + 18 = 516 P(X=2) &= 116 + 18 + 18 = 316 P(X=3) &= 116 + 18 = 316 P(X=4) &= 116 = 116 e P(Y=1) &= 116 P(Y=2) &= 18 + 116 = 316 P(Y=3) &= 18 + 18 + 116 = 516 P(Y=4) &= 18 + 18 + 18 + 116 = 516 . A distribuição marginal de é obtida somando as probabilidades de para cada valor de :
De forma similar, a distribuição marginal de é obtida somando as probabilidades de para cada valor de :

Passo 8

Finalmente, para verificar se P(X=x, Y=y) = P(X=x) times P(Y=y) e P(X=1, Y=2) = 18, P(X=1) times P(Y=2) = 516 times 316 = 15256 são independentes, precisamos verificar se para todos os 18 neq 15256 e :
Vamos testar alguns casos:
  • Para e :
Como a igualdade não se sustenta, e não são independentes.

Resposta

As variáveis e não são independentes.

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