Dois números são escolhidos com reposição no conjunto .
Sejam o menor número obtido e o maior. Obtenha a distribuição conjunta de . A seguir obtenha as marginais. e são independentes?

Passo 1

Vamos resolver o problema onde dois números são escolhidos com reposição do conjunto . Definimos como o menor número obtido e como o maior. Nosso objetivo é encontrar a distribuição conjunta de , as distribuições marginais de e , e verificar se e são independentes. Para isso, precisamos entender conceitos de probabilidade como distribuição conjunta, distribuição marginal e independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis pares que podem ser formados ao escolher dois números com reposição do conjunto . Como a escolha é com reposição, cada número pode ser repetido. O conjunto de todas as combinações possíveis é:
No total, temos combinações possíveis.

Passo 3

Agora, vamos definir como o menor número e como o maior número para cada par :

Passo 4

Com base nisso, podemos listar os pares e contar a frequência de cada combinação para determinar a distribuição conjunta.
Total de combinações: 16.

Passo 5

Agora, calculamos a probabilidade de cada par dividindo a frequência pela quantidade total de combinações:

Passo 6

Assim, a distribuição conjunta de é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as distribuições marginais de e . A distribuição marginal de é obtida somando as probabilidades de para cada valor de :
De forma similar, a distribuição marginal de é obtida somando as probabilidades de para cada valor de :

Passo 8

Finalmente, para verificar se e são independentes, precisamos verificar se para todos os e :
Vamos testar alguns casos:
  • Para e :
Como a igualdade não se sustenta, e não são independentes.

Resposta

As variáveis e não são independentes.

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