Considere uma variável aleatória X com a seguinte f…p.m:
P(X=x)=1 / 6, para x=1,2,3,4,5,6
Determine a variância de X.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma variável aleatória que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, cada um com a mesma probabilidade de . Nosso objetivo é encontrar a variância dessa variável aleatória. Para isso, vamos precisar saber como calcular a média (ou valor esperado) e a variância de uma variável aleatória discreta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média mu = E[X] = sumx=1^6 x cdot P(X = x) de mu = 16(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 16 times 21 = 3,5 . A média é calculada somando todos os valores possíveis de multiplicados por suas respectivas probabilidades:
Como cada valor tem probabilidade , podemos calcular:

Passo 3

Agora, vamos calcular E[X^2] = sumx=1^6 x^2 cdot P(X = x) , que é a média dos quadrados dos valores de E[X^2] = 16(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 16(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 16 times 91 = 15,1667 . Isso ajuda a encontrar a variância:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora que temos sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 e sigma^2 = 15,1667 - (3,5)^2 = 15,1667 - 12,25 = 2,9167 , podemos calcular a variância usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A variância de é aproximadamente .

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