A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional
é dada por:
Determine:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade juntos! Aqui, a gente tem uma função de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias,
e
. Nosso objetivo é encontrar a expectativa condicional de
dado
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais e expectativas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a expectativa condicional
. Ela nos dá o valor esperado de
sabendo que
assumiu algum valor específico. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui,
é a probabilidade de
ser igual a
dado que
é igual a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Isso é a probabilidade de
dado
, e pode ser calculada usando a fórmula de probabilidade condicional:
Sabemos que
para
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a probabilidade de
ser igual a
. Para isso, somamos as probabilidades conjuntas sobre todos os valores possíveis de
para um dado
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da probabilidade condicional:
Então, para um dado
,
é uniformemente distribuído entre 1 e
.
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular
:
Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é:
Passo 7
Substituindo essa soma na expressão da expectativa:
Resposta
A expectativa condicional de
dado
é: