A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional (X, Y) é dada por:
P(x, y)=2n(n+1) x=1,2, ldots, n e y=1,2, ldots, x
Determine:
f) mid E(Y / X)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade juntos! Aqui, a gente tem uma função de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias, e . Nosso objetivo é encontrar a expectativa condicional de dado , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais e expectativas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a expectativa condicional E(Y | X = x) = sumy y cdot P(Y = y | X = x) . Ela nos dá o valor esperado de sabendo que assumiu algum valor específico. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui, é a probabilidade de ser igual a dado que é igual a .

Passo 3

Vamos começar encontrando P(Y = y | X = x) = P(X = x, Y = y)P(X = x) . Isso é a probabilidade de dado , e pode ser calculada usando a fórmula de probabilidade condicional:
Sabemos que para e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar P(X = x) = sumy=1^x P(X = x, Y = y) = sumy=1^x 2n(n+1) = x cdot 2n(n+1) , que é a probabilidade de ser igual a . Para isso, somamos as probabilidades conjuntas sobre todos os valores possíveis de para um dado :

Passo 5

Substituindo P(Y = y | X = x) = 2n(n+1)x cdot 2n(n+1) = 1x e na fórmula da probabilidade condicional:
Então, para um dado , é uniformemente distribuído entre 1 e .

Passo 6

Agora que temos E(Y | X = x) = sumy=1^x y cdot 1x = 1x sumy=1^x y , podemos calcular sumy=1^x y = x(x + 1)2 :
Sabemos que a soma dos primeiros números naturais é:

Passo 7

Substituindo essa soma na expressão da expectativa:
E(Y | X = x) = 1x cdot x(x + 1)2 = x + 12

Resposta

A expectativa condicional de E(Y | X) = X + 12 dado é:

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