Um biólogo determina que a temperatura da água tem um efeito sobre o número de peixes capturados em um dia. Ele encontrou a relação N(t)=-12 t^2+60 t-1300, para t >= 25, na qual N(t) representa o número de peixes capturados em um dia, e t é a temperatura em graus Fahrenheit.
Qual é a temperatura ideal da água para capturar mais peixes?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Um biólogo descobriu uma relação entre a temperatura da água e o número de peixes capturados em um dia, dada pela equação $ N(t) = -12t^{2} + 60t - 1300 $, onde $ N(t) $ é o número de peixes e $ t $ é a temperatura em Fahrenheit. A pergunta é: qual é a temperatura ideal da água para capturar mais peixes?
Para resolver isso, a gente vai usar um pouco de matemática básica sobre funções quadráticas. Precisamos encontrar o valor de $ t $ que maximiza $ N(t) $, ou seja, o ponto onde a quantidade de peixes capturados é a maior possível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ f(t) = at^{2} + bt + c $. O gráfico dessa função é uma parábola. Se o coeficiente de $ t^{2} $ (que é o $ a f(t) = at^2 + bt + c é a = -12 $), a parábola abre para baixo, indicando que existe um ponto máximo.
Para encontrar esse ponto máximo, usamos a fórmula da coordenada do vértice da parábola. A coordenada $ t $ do vértice pode ser encontrada por:
t^2
Onde:
  • $ a = -12 $
  • $ b = 60 $

Passo 3

Vamos aplicar os valores na fórmula:
t = -602 times (-12) = -60-24 = 2,5
Então, a temperatura que maximiza o número de peixes capturados seria $ t = 2,5 $ graus Fahrenheit. Mas pera aí, o enunciado disse que $ t \geq 25 $. Então, nosso resultado $ t = 2,5 $ está fora desse intervalo.
Quando o ponto máximo calculado está fora do intervalo considerado, a gente precisa verificar os valores nas extremidades desse intervalo para saber qual delas dá o maior número de peixes.

Passo 4

Vamos calcular $ N(t) $ quando $ t = 25 $:
N(t)
Primeiro, calcula $ (25)^{2} = 625 $:
t = 25
N(25) = -12(25)^2 + 60(25) - 1300
(25)^2 = 625
O resultado deu negativo, o que não faz sentido no contexto (não podemos ter um número negativo de peixes). Isso sugere que, dentro do intervalo dado ($ t \geq 25 $), a quantidade de peixes capturados está diminuindo conforme a temperatura aumenta.

Passo 5

Como o número de peixes capturados diminui conforme a temperatura aumenta além de 25 graus, a temperatura ideal para capturar mais peixes é justamente o menor valor permitido, que é $ t = 25 $ graus Fahrenheit.

Resposta

A temperatura ideal da água para capturar mais peixes é 25 graus Fahrenheit.

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