O corpo concentra iodo na tireoide. Esta observação leva ao tratamento de câncer de tireoide pela injeção de iodo radioativo na corrente sanguínea. Um isótopo usado tem meia-vida de aproximadamente 8 dias e decai exponencialmente no tempo. Admitindo o modelo exponencial para o decaimento radioativo como
Suponhamos que a quantidade desejada de iodo na corrente sanguínea seja mantida sempre maior ou igual a 20 mg . Quando nova injeção deverá ser aplicada, considerando que isto só poderá ocorrer após a quantidade original ter caído para 20 mg ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente sabe que o iodo radioativo é usado no tratamento de câncer de tireoide porque o corpo concentra esse iodo na glândula. O isótopo que usamos tem uma meia-vida de 8 dias, ou seja, leva 8 dias para metade da quantidade inicial de iodo decair. A quantidade de iodo no corpo ao longo do tempo segue um modelo de decaimento exponencial, dado por:
Onde:
- $ Q(t) $ é a quantidade de iodo no tempo $ t $,
- $ Q_{0} $ é a quantidade inicial de iodo,
- $ k $ é a constante de decaimento,
- $ t $ é o tempo.
A pergunta é: Quando a gente precisa aplicar uma nova injeção de iodo para garantir que a quantidade no corpo nunca caia abaixo de 20 mg? Isso deve acontecer quando a quantidade original bate exatamente 20 mg.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da constante $ k $ usando a meia-vida do iodo, que é 8 dias. A meia-vida é o tempo que a quantidade de uma substância radioativa leva para reduzir à metade.
A relação entre a meia-vida ($ t_{1/2}
k $) é dada por:
Vamos resolver para $ k $:
Passo 3
Agora que temos $ k $, podemos substituir esse valor na equação do decaimento exponencial:
Nossa meta é encontrar o tempo $ t $ quando $ Q(t) = 20 $ mg. Então, substituímos na equação:
Passo 4
Para encontrar $ t $, vamos isolar a variável. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ Q_{0} $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para eliminar o expoente:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para $ t $:
Simplificando, sabemos que $ \ln\left(\frac{20}{Q_{0}}\right) = -\ln\left(\frac{Q_{0}}{20}\right) $, então:
Resposta
A nova injeção de iodo radioativo deve ser aplicada após um tempo de:
dias, garantindo que a quantidade de iodo na corrente sanguínea nunca caia abaixo de 20 mg.