O corpo concentra iodo na tireoide. Esta observação leva ao tratamento de câncer de tireoide pela injeção de iodo radioativo na corrente sanguínea. Um isótopo usado tem meia-vida de aproximadamente 8 dias e decai exponencialmente no tempo. Admitindo o modelo exponencial para o decaimento radioativo como
Q(t)=Q0 cdot e^k t, Q0, k in R:
Se 50 mg deste isótopo são injetados, que quantidade permanecerá após 3 semanas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o uso de iodo radioativo no tratamento do câncer de tireoide. A gente precisa entender como o iodo radioativo decai no tempo para descobrir quanto resta depois de 3 semanas. Vamos usar a matemática do decaimento exponencial, que envolve algumas fórmulas legais. Então, o que precisamos é:
  1. Entender o modelo de decaimento exponencial.
  2. Calcular a constante de decaimento usando a meia-vida.
  3. Aplicar essa constante para descobrir a quantidade de iodo que sobra após 21 dias (3 semanas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o modelo de decaimento exponencial. A fórmula que descreve isso é:
Q(t) = Q0 cdot e^k t
Onde:
  • $ Q(t) $ é a quantidade de iodo no tempo $ t $.
  • $ Q_{0} $ é a quantidade inicial de iodo.
  • $ k $ é a constante de decaimento.
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (~2,718).
Esse modelo nos mostra como a quantidade de iodo diminui com o tempo devido ao decaimento radioativo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a constante de decaimento $ k k T_{1/2} $) do isótopo é de 8 dias. A meia-vida é o tempo que leva para a quantidade de uma substância radioativa reduzir pela metade. Usando a fórmula do decaimento para a meia-vida:
T1/2
Dividindo ambos os lados por $ Q_{0} $:
Q02 = Q0 cdot e^k T1/2
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ k $:
Q0
12 = e^k cdot 8
Então, $ k $ é aproximadamente -0,0866 por dia.

Passo 4

Com a constante de decaimento encontrada, podemos agora calcular a quantidade de iodo que resta após 3 semanas. Primeiro, convertemos 3 semanas para dias:
3 semanas times 7 dias/semana = 21 dias
Agora, usamos a fórmula do decaimento exponencial:
Q(21) = 50 mg cdot e^-0,0866 times 21
Calculando o expoente:
-0,0866 times 21 approx -1,819
Então:
Q(21) = 50 mg cdot e^-1,819 approx 50 mg cdot 0,1627 approx 8,14 mg

Resposta

Após 3 semanas, restam aproximadamente 8,14 mg de iodo radioativo no corpo.

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