O corpo concentra iodo na tireoide. Esta observação leva ao tratamento de câncer de tireoide pela injeção de iodo radioativo na corrente sanguínea. Um isótopo usado tem meia-vida de aproximadamente 8 dias e decai exponencialmente no tempo. Admitindo o modelo exponencial para o decaimento radioativo como
Se 50 mg deste isótopo são injetados, que quantidade permanecerá após 3 semanas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o uso de iodo radioativo no tratamento do câncer de tireoide. A gente precisa entender como o iodo radioativo decai no tempo para descobrir quanto resta depois de 3 semanas. Vamos usar a matemática do decaimento exponencial, que envolve algumas fórmulas legais. Então, o que precisamos é:
- Entender o modelo de decaimento exponencial.
- Calcular a constante de decaimento usando a meia-vida.
- Aplicar essa constante para descobrir a quantidade de iodo que sobra após 21 dias (3 semanas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o modelo de decaimento exponencial. A fórmula que descreve isso é:
Onde:
- $ Q(t) $ é a quantidade de iodo no tempo $ t $.
- $ Q_{0} $ é a quantidade inicial de iodo.
- $ k $ é a constante de decaimento.
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (~2,718).
Esse modelo nos mostra como a quantidade de iodo diminui com o tempo devido ao decaimento radioativo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a constante de decaimento $ k
T_{1/2} $) do isótopo é de 8 dias. A meia-vida é o tempo que leva para a quantidade de uma substância radioativa reduzir pela metade. Usando a fórmula do decaimento para a meia-vida:
Dividindo ambos os lados por $ Q_{0} $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ k $:
Então, $ k $ é aproximadamente -0,0866 por dia.
Passo 4
Com a constante de decaimento encontrada, podemos agora calcular a quantidade de iodo que resta após 3 semanas. Primeiro, convertemos 3 semanas para dias:
Agora, usamos a fórmula do decaimento exponencial:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
Após 3 semanas, restam aproximadamente 8,14 mg de iodo radioativo no corpo.