A temperatura média numa cidade dos EUA é modelada por
F(t)=55+35 cdot sen(2 pi(t-90365))
Considerando-se t=0 o primeiro dia do inverno, depois de quantos dias ocorre a temperatura máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função que modela a temperatura média numa cidade dos EUA ao longo dos dias. Vamos precisar usar um pouco de trigonometria, especificamente a função seno, para descobrir em quantos dias após o primeiro dia de inverno (t = 0) a temperatura atinge seu ponto máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que foi dada:
F(t) = 55 + 35 cdot sin(2pi(t - 90365))
Aqui, $ F(t) $ representa a temperatura média no dia $ t $. A função seno está modelando as variações da temperatura ao longo do ano.

Passo 3

Queremos saber quando a temperatura atinge seu valor máximo. Sabemos que a função seno ($ \sin $) tem seu valor máximo igual a 1. Então, para encontrar o dia em que a temperatura é máxima, vamos igualar o argumento do seno a $ \frac{\pi}{2} $, que é onde o seno atinge 1.
sin

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t $:
  1. Divida ambos os lados por $ 2\pi $:
t
  1. Multiplique ambos os lados por 365:
2pi
  1. Some 90 em ambos os lados para isolar $ t $:
t - 90365 = pi/22pi = 14

Passo 5

Como não fazemos contagem de frações de dia nesse contexto, arredondamos para o dia inteiro mais próximo. Portanto, a temperatura máxima ocorre aproximadamente após 181 dias.

Resposta

A temperatura máxima ocorre após aproximadamente 181 dias do primeiro dia do inverno.

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