Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas: f(x)=(34)(14)^x, x=0,1,2, cdots
P(X>2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , onde , é uma função de densidade válida. Além disso, temos que calcular a probabilidade . Para isso, vamos precisar saber o que é uma função de densidade em probabilidade discreta e como calcular probabilidades usando essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se é realmente uma função de densidade. Para ser uma função de densidade válida, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Todos os valores de devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. A soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de deve ser igual a 1.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira condição: se todos os valores de são não negativos. Como e são positivos para qualquer valor de , fica claro que para todo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição, ou seja, se a soma de todas as probabilidades é igual a 1:
sumx=0^infty f(x) = sumx=0^infty (34)(14)^x = 34 sumx=0^infty (14)^x
A série é uma série geométrica que converge para quando .

Passo 5

Aplicando a fórmula da série geométrica, temos:
34 cdot 11 - 14 = 34 cdot 134 = 34 cdot 43 = 1
Isso mostra que a soma de todas as probabilidades é igual a 1, confirmando que é uma função de densidade válida.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade P(X > 2) = sumx=3^infty f(x) = sumx=3^infty (34)(14)^x . Isso significa a probabilidade de que seja maior que 2, ou seja, . Podemos escrever isso como:

Passo 7

Vamos fatorar 34 sumx=3^infty (14)^x = 34 cdot (14)^3 sumx=0^infty (14)^x = 34 cdot 164 cdot 11 - 14 = 34 cdot 164 cdot 43 = 164 e reescrever a soma:
Assim, .

Resposta

Portanto, a probabilidade é , ou aproximadamente 0,015625.

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