Um bit (0 ou 1 ) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja
a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de
o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transmissão de informações em canais com ruído. O enunciado fala sobre enviar um bit (0 ou 1) e a chance de erro na recepção, que é representada por
. A ideia é comparar duas formas de transmitir esse bit:
- Transmissão única: enviar o bit uma vez.
- Decodificador de maioria de dois em três: enviar o mesmo bit três vezes de forma independente e decidir pelo valor que aparecer pelo menos duas vezes.
A gente precisa descobrir para quais valores de
é melhor usar o decodificador de maioria do que enviar apenas uma vez. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e como calcular a taxa de erro em cada método.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a transmissão única. Quando enviamos o bit uma vez, a probabilidade de erro na recepção é exatamente
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos considerar o decodificador de maioria de dois em três. Aqui, enviamos o mesmo bit três vezes independentemente. Para decidir o valor final, a gente olha para a maioria das recepções. Isso significa que podemos errar de duas maneiras:
- Errar duas vezes e acertar uma vez.
- Errar todas as três vezes.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários.
Passo 4
Primeiro, a probabilidade de errar duas vezes e acertar uma vez. Como os envios são independentes, usamos a combinação para calcular quantas maneiras isso pode acontecer:
Aqui,
representa as formas de escolher quais duas das três transmissões dão erro.
Passo 5
Agora, a probabilidade de errar todas as três vezes:
Passo 6
A probabilidade total de erro no decodificador de maioria é a soma das duas probabilidades que calculamos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Queremos encontrar para quais valores de
o decodificador de maioria é melhor que a transmissão única. Isso significa que a probabilidade de erro com a maioria deve ser menor que a probabilidade de erro com a transmissão única:
Vamos resolver essa inequação:
Factorizando o polinômio:
Resolvendo a equação quadrática
:
Isso nos dá as raízes:
Passo 8
Agora, analisando a inequação
, observamos os intervalos definidos pelas raízes
,
e
.
Testando intervalos:
- Para
: A inequação é verdadeira. - Para
: A inequação não é verdadeira. - Para
: Não faz sentido no contexto de probabilidade.
Passo 9
Portanto, o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão única quando a probabilidade de erro
é menor que
.
Resposta
O decodificador de maioria de dois em três é mais eficiente que a transmissão única quando a probabilidade de erro
satisfaz: