Um bit (0 ou 1 ) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transmissão de informações em canais com ruído. O enunciado fala sobre enviar um bit (0 ou 1) e a chance de erro na recepção, que é representada por . A ideia é comparar duas formas de transmitir esse bit:
  1. Transmissão única: enviar o bit uma vez.
  2. Decodificador de maioria de dois em três: enviar o mesmo bit três vezes de forma independente e decidir pelo valor que aparecer pelo menos duas vezes.
A gente precisa descobrir para quais valores de é melhor usar o decodificador de maioria do que enviar apenas uma vez. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e como calcular a taxa de erro em cada método.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a transmissão única. Quando enviamos o bit uma vez, a probabilidade de erro na recepção é exatamente . Ou seja:
ú

Passo 3

Agora, vamos considerar o decodificador de maioria de dois em três. Aqui, enviamos o mesmo bit três vezes independentemente. Para decidir o valor final, a gente olha para a maioria das recepções. Isso significa que podemos errar de duas maneiras:
  1. Errar duas vezes e acertar uma vez.
  2. Errar todas as três vezes.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários.

Passo 4

Primeiro, a probabilidade de errar duas vezes e acertar uma vez. Como os envios são independentes, usamos a combinação para calcular quantas maneiras isso pode acontecer:
Aqui, representa as formas de escolher quais duas das três transmissões dão erro.

Passo 5

Agora, a probabilidade de errar todas as três vezes:
ê

Passo 6

A probabilidade total de erro no decodificador de maioria é a soma das duas probabilidades que calculamos:
ê
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 7

Queremos encontrar para quais valores de o decodificador de maioria é melhor que a transmissão única. Isso significa que a probabilidade de erro com a maioria deve ser menor que a probabilidade de erro com a transmissão única:
ú
Vamos resolver essa inequação:
Factorizando o polinômio:
Resolvendo a equação quadrática :
Isso nos dá as raízes:

Passo 8

Agora, analisando a inequação , observamos os intervalos definidos pelas raízes , e .
Testando intervalos:
  1. Para : A inequação é verdadeira.
  2. Para : A inequação não é verdadeira.
  3. Para : Não faz sentido no contexto de probabilidade.

Passo 9

Portanto, o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão única quando a probabilidade de erro é menor que .

Resposta

O decodificador de maioria de dois em três é mais eficiente que a transmissão única quando a probabilidade de erro satisfaz:

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