(a) Qual será a probabilidade do erro tipo I, se a região crítica for definida como barx<11,5 quilogramas?
(b) Encontre beta para o caso em que o alongamento médio verdadeiro seja de 11,25 quilogramas.
© Encontre beta para o caso em que a média verdadeira seja de 11,5 quilogramas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística que envolve testes de hipótese, especificamente analisando erros tipo I e tipo II. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a probabilidade de cometer um erro tipo I quando a região crítica é definida como barx < 11,5 quilogramas. Além disso, precisamos encontrar o beta, que representa a probabilidade de erro tipo II, para dois valores diferentes da média verdadeira: 11,25 kg e 11,5 kg. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de testes de hipótese, distribuição normal e como calcular probabilidades associadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um erro tipo I. Em um teste de hipótese, o erro tipo I ocorre quando a gente rejeita a hipótese nula ( H0) sendo ela verdadeira. A probabilidade desse erro acontecer é chamada de nível de significância, geralmente representada por alpha. No nosso caso, a região crítica é definida como barx < 11,5 kg, o que significa que vamos rejeitar H0 se a média amostral for menor que 11,5 kg.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de erro tipo I ( alpha), precisamos calcular a probabilidade de que a média amostral barx seja menor que 11,5 kg, assumindo que a média verdadeira é igual à média sob H0. Vamos supor que a distribuição da média amostral seja normal, com média mu e desvio padrão sigma/raizn, onde sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra.
A fórmula para calcular essa probabilidade é:
alpha = P(barx < 11,5) = Phi(11,5 - musigma/raizn)
Aqui, Phi representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Passo 4

Agora, vamos calcular o beta para as duas situações mencionadas. O beta é a probabilidade de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar H0 quando a hipótese alternativa H1 é verdadeira.
Para calcular o beta, usamos a seguinte fórmula:
beta = P(barx >= 11,5 mid muverdadeiro) = 1 - Phi(11,5 - muverdadeirosigma/raizn)
Vamos aplicar essa fórmula para muverdadeiro = 11,25 kg e muverdadeiro = 11,5 kg.

Resposta

Então, resumindo:
(a) A probabilidade do erro tipo I é alpha = Phi(11,5 - musigma/raizn).
(b) Para muverdadeiro = 11,25 kg, o beta é 1 - Phi(11,5 - 11,25sigma/raizn).
© Para muverdadeiro = 11,5 kg, o beta é 1 - Phi(11,5 - 11,5sigma/raizn) = 1 - Phi(0) = 0,5.

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