(a) Qual será a probabilidade do erro tipo I, se a região crítica for definida como quilogramas?
(b) Encontre para o caso em que o alongamento médio verdadeiro seja de 11,25 quilogramas.
© Encontre para o caso em que a média verdadeira seja de 11,5 quilogramas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística que envolve testes de hipótese, especificamente analisando erros tipo I e tipo II. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a probabilidade de cometer um erro tipo I quando a região crítica é definida como quilogramas. Além disso, precisamos encontrar o , que representa a probabilidade de erro tipo II, para dois valores diferentes da média verdadeira: 11,25 kg e 11,5 kg. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de testes de hipótese, distribuição normal e como calcular probabilidades associadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um erro tipo I. Em um teste de hipótese, o erro tipo I ocorre quando a gente rejeita a hipótese nula ( ) sendo ela verdadeira. A probabilidade desse erro acontecer é chamada de nível de significância, geralmente representada por . No nosso caso, a região crítica é definida como kg, o que significa que vamos rejeitar se a média amostral for menor que 11,5 kg.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de erro tipo I ( ), precisamos calcular a probabilidade de que a média amostral seja menor que 11,5 kg, assumindo que a média verdadeira é igual à média sob . Vamos supor que a distribuição da média amostral seja normal, com média e desvio padrão , onde é o desvio padrão da população e é o tamanho da amostra.
A fórmula para calcular essa probabilidade é:
Aqui, representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Passo 4

Agora, vamos calcular o para as duas situações mencionadas. O é a probabilidade de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar quando a hipótese alternativa é verdadeira.
Para calcular o , usamos a seguinte fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula para kg e kg.

Resposta

Então, resumindo:
(a) A probabilidade do erro tipo I é .
(b) Para kg, o é .
© Para kg, o é .

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