Um bloco B de 6 kg parte do repouso e desliza sobre uma cunha A de 15 kg que é suportada por uma superfície horizontal. Desprezando o atrito, determine (a) a aceleração da cunha e (b) a aceleração do bloco relativa à cunha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco de 6 kg que está parado e começa a deslizar sobre uma cunha de 15 kg apoiada numa superfície horizontal. Queremos descobrir duas coisas: (a) qual é a aceleração da cunha e (b) qual é a aceleração do bloco em relação à cunha. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as leis de Newton, especialmente a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos usar conceitos de movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças envolvidas. Como estamos ignorando o atrito, as únicas forças que atuam na cunha são:
  1. O peso da cunha:
  2. O peso do bloco:
  3. A força de reação da superfície sobre a cunha, que tem componentes horizontal e vertical.
Aqui, (massa da cunha), (massa do bloco) e (aceleração da gravidade).

Passo 3

Vamos considerar o sistema como um todo primeiro para achar a aceleração da cunha. Usando a segunda lei de Newton:
Ftotal = (mA + mB) times a
Mas precisamos identificar quais for��as estão causando a aceleração. Como a superfície é horizontal e sem atrito, a força que causa a aceleração é a componente horizontal da força exercida pelo bloco na cunha.
Para achar essa componente, precisamos considerar que o bloco está deslizando sobre a cunha, criando uma força perpendicular e outra paralela à superfície da cunha.

Passo 4

Vamos decompor as forças. A força que o bloco exerce na cunha tem uma componente horizontal que empurra a cunha para trás. Usando trigonometria, se a cunha faz um ângulo Fhorizontal = mB times g times sin(theta) com a horizontal, a componente horizontal da força é:
Fhorizontal = mA times a
Essa força é a que vai acelerar a cunha. Aplicando a segunda lei de Newton para a cunha:
mB times g times sin(theta) = mA times a
Substituindo:
a = mB times g times sin(theta)mA
Daí, isolamos :

Passo 5

Agora, para achar a aceleração relativa do bloco em relação à cunha, precisamos considerar que o bloco está acelerando tanto em relação ao chão quanto à cunha. A aceleração relativa é a diferença entre a aceleração do bloco e a aceleração da cunha.
Se arel = aB - a é a aceleração do bloco em relação ao chão, então:
mB times g = mB times aB
Usando novamente a segunda lei para o bloco:
aB = g
Então:
arel = g - a
Portanto:

Resposta

(a) A aceleração da cunha é .
(b) A aceleração do bloco relativa à cunha é .

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