Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos)
e
são mutuamente ortogonais. Lembre-se que os orbitais atômicos
e
são ortonormais entre si.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que as combinações lineares dos orbitais híbridos
e
são mutuamente ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produtos escalares entre orbitais atômicos, lembrando que os orbitais
e
são ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm norma 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois orbitais são ortogonais. Dois orbitais são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que os orbitais não têm componentes na mesma direção, ou seja, são perpendiculares.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno entre
e
:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, expandimos:
E assim por diante para todos os termos.
Passo 4
Agora, lembrando que os orbitais
e
são ortonormais:
-
-
para -
e para
Aplicando isso na expressão:
Todos os termos cruzados
e
com
são zero.
Passo 5
Somando todos os termos, temos:
Isso mostra que o produto interno entre
e
é zero.
Resposta
Portanto, as combinações lineares
e
são mutuamente ortogonais.