Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos) h1=s+px+py+pz e h2=s-px-py+pz são mutuamente ortogonais. Lembre-se que os orbitais atômicos s e p são ortonormais entre si.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que as combinações lineares dos orbitais híbridos e são mutuamente ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produtos escalares entre orbitais atômicos, lembrando que os orbitais e são ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois orbitais são ortogonais. Dois orbitais são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Matematicamente, isso é representado por:
lang<= h1 | h2 rang<= = 0
Isso significa que os orbitais não têm componentes na mesma direção, ou seja, são perpendiculares.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre lang<= h1 | h2 rang<= = lang<= s + px + py + pz ,|, s - px - py + pz rang<= e lang<= h1 | h2 rang<= = lang<= s|s rang<= - lang<= s|px rang<= - lang<= s|py rang<= + lang<= s|pz rang<= + lang<= px|s rang<= - lang<= px|px rang<= - lang<= px|py rang<= + lang<= px|pz rang<= + ldots :
Usando a propriedade distributiva do produto interno, expandimos:
E assim por diante para todos os termos.

Passo 4

Agora, lembrando que os orbitais lang<= h1 | h2 rang<= = 1 - 0 - 0 + 0 + 0 - 1 - 0 + 0 + ldots e são ortonormais:
  • para
  • e para
Aplicando isso na expressão:
Todos os termos cruzados e com são zero.

Passo 5

Somando todos os termos, temos:
lang<= h1 | h2 rang<= = 1 - 1 = 0
Isso mostra que o produto interno entre e é zero.

Resposta

Portanto, as combinações lineares e são mutuamente ortogonais.

Exercícios relacionados

Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 5,00 g / cm e está sujeita a uma tensão de 10,0 N. Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12 mm, uma frequência de 100 Hz e está se propagando no sentido negativo de um eixo x. Se a equação da onda é da forma y(x, t)=Y sen(k x pm w t), determine Y, k, w e o sinal que procede w.
Um pêndulo simples tem uma massa de 0,250 kg e um comprimento de 1,00 m. Ele é deslocado de 15,0^circ e então liberado. Calcule
c) a força restauradora máxima.
(Dica: Use energia e lembre-se que o momento de inércia para o pêndulo é I=m L^2.)
O conjunto cilindro -pistão abaixo contém 0,5 kg de ar e, inicialmente, apresenta temperatura e pressão iguais a 1000 K e 2,0 Mpa. A atmosfera atua sobre o pistão e a massa do mesmo não é desprezível. Quando o pistão encosta no esbarro o volume da câmara é igual a 0,03 m^3. O ar transfere calor para o meio e a temperatura final é de 400 K . Determine o volume ocupado inicialmente pelo ar e a pressão do ar no final do processo. Calcule também, o trabalho realizado no processo e o calor transferido para o meio. Para fins de simplificação, considerar o ar como gás perfeito e com calor específico (cv) constante.
Respostas: V1=0,07175 m^3
p 2=1913,33 kPa 1 W 2=-83,5 kJ
1 Q2=298,45 kJ
Um bloco B de 6 kg parte do repouso e desliza sobre uma cunha A de 15 kg que é suportada por uma superfície horizontal. Desprezando o atrito, determine (a) a aceleração da cunha e (b) a aceleração do bloco relativa à cunha.