Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos) h1=s+px+py+pz e h2=s-px-py+pz são mutuamente ortogonais. Lembre-se que os orbitais atômicos s e p são ortonormais entre si.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que as combinações lineares dos orbitais híbridos e são mutuamente ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produtos escalares entre orbitais atômicos, lembrando que os orbitais e são ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois orbitais são ortogonais. Dois orbitais são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Matematicamente, isso é representado por:
lang<= h1 | h2 rang<= = 0
Isso significa que os orbitais não têm componentes na mesma direção, ou seja, são perpendiculares.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre lang<= h1 | h2 rang<= = lang<= s + px + py + pz ,|, s - px - py + pz rang<= e lang<= h1 | h2 rang<= = lang<= s|s rang<= - lang<= s|px rang<= - lang<= s|py rang<= + lang<= s|pz rang<= + lang<= px|s rang<= - lang<= px|px rang<= - lang<= px|py rang<= + lang<= px|pz rang<= + ldots :
Usando a propriedade distributiva do produto interno, expandimos:
E assim por diante para todos os termos.

Passo 4

Agora, lembrando que os orbitais lang<= h1 | h2 rang<= = 1 - 0 - 0 + 0 + 0 - 1 - 0 + 0 + ldots e são ortonormais:
  • para
  • e para
Aplicando isso na expressão:
Todos os termos cruzados e com são zero.

Passo 5

Somando todos os termos, temos:
lang<= h1 | h2 rang<= = 1 - 1 = 0
Isso mostra que o produto interno entre e é zero.

Resposta

Portanto, as combinações lineares e são mutuamente ortogonais.

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