(a) Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos)
e
são mutuamente ortogonais para todos os valores do ângulo
(zeta). Note que o ângulo
é um parâmetro e não uma coordenada angular em
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma questão que pede para mostrar que duas combinações lineares chamadas de orbitais híbridos,
e
, são mutuamente ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si, para qualquer valor do ângulo
. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especialmente noções de combinação linear e ortogonalidade de vetores. Vamos precisar usar as propriedades de seno e cosseno e a definição de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores (ou orbitais, no caso) são ortogonais. Dois vetores
e
são ortogonais se o produto interno entre eles for zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos escrever as expressões dos orbitais híbridos dado no enunciado:
Passo 4
Para verificar a ortogonalidade, vamos calcular o produto interno
:
Passo 5
Vamos expandir o produto interno usando a distributiva:
Passo 6
Sabemos que
e
são ortogonais, então
. Além disso, assumimos que
(normalizados). Simplificando:
Passo 7
Simplificando mais, vemos que os termos se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que
e
são mutuamente ortogonais para qualquer valor do ângulo
porque o produto interno entre eles é zero.
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e
são fixadas nas extremidades de um bastão isolante de comprimento d. Uma terceira partícula carregada pode se mover livremente ao longo do comprimento do bastão.
Discuta a estabilidade do equilíbrio dessa partícula em função do sinal de sua carga. (Dica: considere pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio)
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Um bloco
de
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de
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a) Use orbitais hidrogenoides para escrever explicitamente a parte angular do orbital híbrido
. Chame a parte radial das funções de onda como
e
para os orbitais atômicos
e
, respectivamente.
Quando um corpo se move num meio viscoso sob ação da força
, a força resultante é
, onde
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seja o peso
do corpo, mostre que a velocidade limite
é dada por
independente do valor de
.