Um bloco cúbico, com arestas de 0,2 m e massa de 5 kg, desliza em um plano inclinado 30^circ para baixo em relação à horizontal, sobre um filme de óleo SAE 30 a 20^circ C com 0,20 mm de espessura. Se o bloco for liberado do repouso em t=0, qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva V(t). Determine a velocidade do bloco após 0,1 s. Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de 0,3 m / s neste tempo, qual deveria ser a viscosidade mu do óleo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos um bloco cúbico de aresta 0,2 metros e massa de 5 kg que está deslizando por um plano inclinado de 30°. Ele está sobre uma camada de óleo SAE 30 com espessura de 0,20 mm a 20°C. Precisamos descobrir:
  1. Aceleração inicial do bloco quando ele começa a se mover.
  2. Uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo.
  3. Traçar a curva V(t), ou seja, como a velocidade muda com o tempo.
  4. Determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos.
  5. Calcular a viscosidade μ do óleo para que o bloco atinja 0,3 m/s em 0,1 segundos.
Vamos usar conceitos de dinâmica de corpos em plano inclinado e viscoseidade de fluidos para resolver isso. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração inicial do bloco. Quando o bloco está começando a se mover, a velocidade é zero, então a força viscosa do óleo também é zero (porque Fpeso, para<=lo = m times g times sin(theta) , e ainicial = g times sin(30^circ) ). Então, a única força que acelera o bloco é a componente do peso que puxa o bloco para baixo do plano.
A componente do peso ao longo do plano inclinado é dada por:
Onde:
  • (massa do bloco)
  • (aceleração da gravidade)
  • (ângulo do plano inclinado)
A aceleração é , então:

Passo 3

Vamos calcular numericamente a aceleração inicial:
Sabemos que ainicial = 9,8 , m/s^2 times 0,5 = 4,9 , m/s^2 , então:

Passo 4

Agora, precisamos achar uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Conforme o bloco acelera, a força viscosa do óleo começa a atuar contra o movimento, que é proporcional à velocidade:
Fviscosa = mu times A times v(t)h
Onde:
  • Fresu é a viscosidade do óleo
  • m times a(t) = m times g times sin(theta) - mu times A times v(t)h é a área de contato
  • a(t) = g times sin(theta) - mu times Am times h times v(t) é a espessura do óleo
  • dvdt + mu times Am times h times v(t) = g times sin(theta) é a velocidade em função do tempo
A força resultante que acelera o bloco é:
Aplicando a segunda lei de Newton ( ):
Simplificando:
Como , temos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial:
dvdt + k times v(t) = C
Onde:
  • v(t) = Ck (1 - e^-k t) + v0 e^-k t
  • v(t) = Ck (1 - e^-k t)
A solução dessa equação é:
v(t) = g times sin(theta)mu times Am times h (1 - e^-mu times Am times h t)
Como o bloco parte do repouso, v(t) = m times g times sin(theta) times hmu times A (1 - e^-mu times Am times h t) , então:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora identificar os valores para substituir na equação de v(t) = 5 times 9,8 times 0,5 times 0,0002mu times 0,04 (1 - e^-mu times 0,045 times 0,0002 t) :
  • Massa v(t) = 5 times 9,8 times 0,5 times 0,0002mu times 0,04 (1 - e^-mu times 0,040,001 t)
  • Gravidade v(t) = 0,49mu (1 - e^-40 mu t)
  • Ângulo v(t) = 0,49mu (1 - e^-40 mu t) , m/s ( )
  • Espessura do óleo
  • Área de contato
Substituindo na expressão de :
Simplificando os termos numéricos:
Então, a expressão final para a velocidade em função do tempo é:

Passo 7

Agora, vamos determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos. Para isso, precisamos de um valor para a viscosidade v(0,1) = 0,490,29 (1 - e^-40 times 0,29 times 0,1) . Mas como o problema não fornece 40 times 0,29 times 0,1 = 1,16 inicialmente, podemos considerar a viscosidade padrão do óleo SAE 30 a 20°C.
A viscosidade do óleo SAE 30 a 20°C é aproximadamente v(0,1) = 0,490,29 (1 - e^-1,16) approx 1,69 times (1 - 0,313) approx 1,69 times 0,687 approx 1,16 , m/s .
Substituindo na equação de :
Calculando o expoente:
Então:

Passo 8

Finalmente, vamos determinar a viscosidade 0,3 = 0,49mu (1 - e^-40 mu times 0,1) necessária para que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s em 0,1 segundos. Usamos a equação de 0,3 mu = 0,49 (1 - e^-4 mu) :
0,3 times 0,5 = 0,49 (1 - e^-2) 0,15 = 0,49 times (1 - 0,1353) 0,15 = 0,49 times 0,8647 0,15 approx 0,424 (Muito a
Simplificando:
0,3 times 1,5 = 0,49 (1 - e^-6) 0,45 = 0,49 times (1 - 0,0025) 0,45 approx 0,49 times 0,9975 approx 0,489 (Ainda a
Essa equação não é trivial de resolver analiticamente, então vamos resolver numericamente. Vamos tentar alguns valores de 0,3 times 3,0 = 0,49 (1 - e^-12) 0,9 = 0,49 times (1 - 0,00000614) 0,9 approx 0,49 times 0,99999386 approx 0,49 (Muito baixo) :
  1. Tentativa com 0,3 times 1,0 = 0,49 (1 - e^-4) 0,3 = 0,49 times (1 - 0,0183) 0,3 approx 0,49 times 0,9817 approx 0,480 (Ainda a:
0,3 times 2,0 = 0,49 (1 - e^-8) 0,6 = 0,49 times (1 - 0,0003355) 0,6 approx 0,49 times 0,9996645 approx 0,49 (Ainda baixo)
  1. Tentativa com :
  1. Tentativa com :
Parece que entre 1,5 e 3,0 Pa·s encontramos o valor correto. Vamos refinar:
  1. Tentativa com :
  1. Tentativa com :
Parece que não encontraremos um valor que satisfaça exatamente 0,3 m/s em 0,1 s com essa abordagem. Talvez seja melhor usar métodos numéricos ou gráficos para achar o valor exato de . Porém, baseado nas tentativas, a viscosidade necessária seria menor que 1,5 Pa·s para atingir a velocidade desejada.

Resposta

A velocidade do bloco após 0,1 segundos é aproximadamente 1,16 m/s.

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