Um bloco cúbico, com arestas de e massa de 5 kg, desliza em um plano inclinado para baixo em relação à horizontal, sobre um filme de óleo SAE 30 a com de espessura. Se o bloco for liberado do repouso em , qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva . Determine a velocidade do bloco após . Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de neste tempo, qual deveria ser a viscosidade do óleo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos um bloco cúbico de aresta 0,2 metros e massa de 5 kg que está deslizando por um plano inclinado de 30°. Ele está sobre uma camada de óleo SAE 30 com espessura de 0,20 mm a 20°C. Precisamos descobrir:
  1. Aceleração inicial do bloco quando ele começa a se mover.
  2. Uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo.
  3. Traçar a curva V(t), ou seja, como a velocidade muda com o tempo.
  4. Determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos.
  5. Calcular a viscosidade μ do óleo para que o bloco atinja 0,3 m/s em 0,1 segundos.
Vamos usar conceitos de dinâmica de corpos em plano inclinado e viscoseidade de fluidos para resolver isso. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração inicial do bloco. Quando o bloco está começando a se mover, a velocidade é zero, então a força viscosa do óleo também é zero (porque , e ). Então, a única força que acelera o bloco é a componente do peso que puxa o bloco para baixo do plano.
A componente do peso ao longo do plano inclinado é dada por:
Onde:
  • (massa do bloco)
  • (aceleração da gravidade)
  • (ângulo do plano inclinado)
A aceleração é , então:

Passo 3

Vamos calcular numericamente a aceleração inicial:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos achar uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Conforme o bloco acelera, a força viscosa do óleo começa a atuar contra o movimento, que é proporcional à velocidade:
Onde:
  • é a viscosidade do óleo
  • é a área de contato
  • é a espessura do óleo
  • é a velocidade em função do tempo
A força resultante que acelera o bloco é:
Aplicando a segunda lei de Newton ( ):
Simplificando:
Como , temos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial:
Onde:
A solução dessa equação é:
Como o bloco parte do repouso, , então:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora identificar os valores para substituir na equação de :
  • Massa
  • Gravidade
  • Ângulo ( )
  • Espessura do óleo
  • Área de contato
Substituindo na expressão de :
Simplificando os termos numéricos:
Então, a expressão final para a velocidade em função do tempo é:

Passo 7

Agora, vamos determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos. Para isso, precisamos de um valor para a viscosidade . Mas como o problema não fornece inicialmente, podemos considerar a viscosidade padrão do óleo SAE 30 a 20°C.
A viscosidade do óleo SAE 30 a 20°C é aproximadamente .
Substituindo na equação de :
Calculando o expoente:
Então:

Passo 8

Finalmente, vamos determinar a viscosidade necessária para que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s em 0,1 segundos. Usamos a equação de :
Simplificando:
Essa equação não é trivial de resolver analiticamente, então vamos resolver numericamente. Vamos tentar alguns valores de :
  1. Tentativa com :
  1. Tentativa com :
  1. Tentativa com :
Parece que entre 1,5 e 3,0 Pa·s encontramos o valor correto. Vamos refinar:
  1. Tentativa com :
  1. Tentativa com :
Parece que não encontraremos um valor que satisfaça exatamente 0,3 m/s em 0,1 s com essa abordagem. Talvez seja melhor usar métodos numéricos ou gráficos para achar o valor exato de . Porém, baseado nas tentativas, a viscosidade necessária seria menor que 1,5 Pa·s para atingir a velocidade desejada.

Resposta

A velocidade do bloco após 0,1 segundos é aproximadamente 1,16 m/s.

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