Um bloco cúbico, com arestas de
e massa de 5 kg, desliza em um plano inclinado
para baixo em relação à horizontal, sobre um filme de óleo SAE 30 a
com
de espessura. Se o bloco for liberado do repouso em
, qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva
. Determine a velocidade do bloco após
. Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de
neste tempo, qual deveria ser a viscosidade
do óleo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos um bloco cúbico de aresta 0,2 metros e massa de 5 kg que está deslizando por um plano inclinado de 30°. Ele está sobre uma camada de óleo SAE 30 com espessura de 0,20 mm a 20°C. Precisamos descobrir:
- Aceleração inicial do bloco quando ele começa a se mover.
- Uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo.
- Traçar a curva V(t), ou seja, como a velocidade muda com o tempo.
- Determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos.
- Calcular a viscosidade μ do óleo para que o bloco atinja 0,3 m/s em 0,1 segundos.
Vamos usar conceitos de dinâmica de corpos em plano inclinado e viscoseidade de fluidos para resolver isso. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a aceleração inicial do bloco. Quando o bloco está começando a se mover, a velocidade é zero, então a força viscosa do óleo também é zero (porque
, e
). Então, a única força que acelera o bloco é a componente do peso que puxa o bloco para baixo do plano.
A componente do peso ao longo do plano inclinado é dada por:
Onde:
-
(massa do bloco) -
(aceleração da gravidade) -
(ângulo do plano inclinado)
A aceleração é
, então:
Passo 3
Vamos calcular numericamente a aceleração inicial:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, precisamos achar uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Conforme o bloco acelera, a força viscosa do óleo começa a atuar contra o movimento, que é proporcional à velocidade:
Onde:
-
é a viscosidade do óleo -
é a área de contato -
é a espessura do óleo -
é a velocidade em função do tempo
A força resultante que acelera o bloco é:
Aplicando a segunda lei de Newton (
):
Simplificando:
Como
, temos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
.
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial:
Onde:
A solução dessa equação é:
Como o bloco parte do repouso,
, então:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora identificar os valores para substituir na equação de
:
- Massa
- Gravidade
- Ângulo
( ) - Espessura do óleo
- Área de contato
Substituindo na expressão de
:
Simplificando os termos numéricos:
Então, a expressão final para a velocidade em função do tempo é:
Passo 7
Agora, vamos determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos. Para isso, precisamos de um valor para a viscosidade
. Mas como o problema não fornece
inicialmente, podemos considerar a viscosidade padrão do óleo SAE 30 a 20°C.
A viscosidade do óleo SAE 30 a 20°C é aproximadamente
.
Substituindo na equação de
:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 8
Finalmente, vamos determinar a viscosidade
necessária para que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s em 0,1 segundos. Usamos a equação de
:
Simplificando:
Essa equação não é trivial de resolver analiticamente, então vamos resolver numericamente. Vamos tentar alguns valores de
:
- Tentativa com
:
- Tentativa com
:
- Tentativa com
:
Parece que entre 1,5 e 3,0 Pa·s encontramos o valor correto. Vamos refinar:
- Tentativa com
:
- Tentativa com
:
Parece que não encontraremos um valor que satisfaça exatamente 0,3 m/s em 0,1 s com essa abordagem. Talvez seja melhor usar métodos numéricos ou gráficos para achar o valor exato de
. Porém, baseado nas tentativas, a viscosidade necessária seria menor que 1,5 Pa·s para atingir a velocidade desejada.
Resposta
A velocidade do bloco após 0,1 segundos é aproximadamente 1,16 m/s.
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