Um bloco cúbico de madeira, de lado
, flutua em um líquido ideal, o qual está em equilíbrio estático e cuja densidade equivale ao dobro da densidade do bloco. O bloco é, então, empurrado de uma distância
para dentro do líquido, sem que ele fique completamente submerso, e liberado no instante inicial. Calcule a posição do centro do bloco em relação à superfície do líquido em função do tempo, considerando a aceleração da gravidade
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco cúbico de madeira com lado $ L $ que está flutuando em um líquido ideal. A densidade do líquido é o dobro da densidade do bloco. A gente empurra o bloco um pouco para baixo, uma distância $ h $, e depois o solta. O objetivo é descobrir como a posição do centro do bloco varia com o tempo, considerando a gravidade $ g $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de flutuabilidade e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição de equilíbrio estático, ou seja, como o bloco está flutuando antes de ser empurrado. A força de empuxo que o líquido exerce para cima é igual ao peso do bloco. A força de empuxo $ F_{empuxo} $ pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
- $ \rho_{líquido} $ é a densidade do líquido;
- $ g $ é a aceleração da gravidade;
- $ V_{imergido} $ é o volume do bloco imerso.
Como o bloco é cúbico, seu volume total é $ V = L^3 $. No equilíbrio, $ F_{empuxo} = Peso do bloco = \rho_{bloco} \cdot g \cdot V $.
Passo 3
Agora, vamos empurrar o bloco uma distância $ h $ para dentro do líquido. Isso faz com que o volume imerso aumente. A força de empuxo adicional devido a essa imersão extra é:
Onde $ A = L^2 $ é a área da base do bloco. Essa força adicional vai atuar como uma força restauradora, puxando o bloco de volta para sua posição de equilíbrio.
Passo 4
Sabemos que uma força restauradora proporcional ao deslocamento gera um movimento harmônico simples. A segunda lei de Newton nos dá:
Onde:
- $ m = \rho_{bloco} \cdot L^3 $ é a massa do bloco;
- $ k = \rho_{líquido} \cdot g \cdot A $ é a constante elástica.
Substituindo $ A = L^2 $ e $ m $:
Simplificando:
Passo 5
Como $ \rho_{líquido} = 2 \rho_{bloco} $, podemos substituir:
A equação característica do movimento harmônico simples é $ \frac{d2x}{dt2} = -\omega^2 x $, onde $ \omega $ é a frequência angular. Portanto:
A solução geral para a posição $ x(t) $ é:
Resposta
A posição do centro do bloco em relação à superfície do líquido em função do tempo é: