Um líquido escoa de maneira estacionária e uniforme (ao longo de qualquer seção reta) por um tubo de 2 cm de diâmetro com velocidade
. O tubo se divide em três ramos (tubos) idênticos e de diâmetro
, cada, por onde o fluido escoa de maneira estacionária e uniforme com velocidade de
. Qual o diâmetro
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um líquido escoando de forma constante por um tubo principal e depois ele se divide em três tubos menores. A gente precisa descobrir qual é o diâmetro desses tubos menores. A matéria que vamos usar aqui é a Equação da Continuidade na Hidrodinâmica, que basicamente diz que o que entra em um sistema tem que sair dele. Para resolver isso, vamos precisar calcular as áreas das seções dos tubos e usar a relação entre elas para encontrar o diâmetro desconhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo principal. A fórmula para a área de um círculo é:
Aqui, $ A $ é a área e $ D $ é o diâmetro do tubo. No nosso caso, o diâmetro do tubo principal é 2 cm, que vamos converter para metros para facilitar os cálculos:
Então, a área do tubo principal é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de cada um dos tubos menores. Vamos chamar o diâmetro deles de $ d $. A área de um tubo menor será:
Como são três tubos iguais, a área total dos tubos menores será:
Passo 4
De acordo com a Equação da Continuidade, o fluxo total que entra no tubo principal deve ser igual ao fluxo total que sai pelos tubos menores. O fluxo ($ Q $) é dado pela multiplicação da área pela velocidade:
Então, temos:
e
Como $ Q_{principal} = Q_{total_menor} $, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
- $ A_{principal} = 0,000314, m^2 $
- $ v_{principal} = 9, m/s $
- $ v_{menor} = 12, m/s $
Substituindo:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação para encontrar $ d $:
Primeiro, simplificamos o lado direito:
Então, a equação fica:
Agora, isolamos $ d^2 $:
Calculando o valor:
Passo 7
Para encontrar o diâmetro $ d $, tiramos a raiz quadrada de $ d^2 $:
Convertendo para centímetros:
Resposta
O diâmetro $ d $ de cada um dos tubos menores é de 1 cm.