Um bloco de forma paralelepipédica, cujas dimensões da base são de 20 cm times 20 cm e que pesa 25 kgt . desliza ao longo de uma superficie inclinada 30^circ em relaçäo à horizontal sobre uma pelicula de óleo (mu=2,15 times 10^-3 kg m^-1 s^-1) com uma espessura de 2,5 times 10^-5 m.
Qual a velocidade terminal que animará o corpo (movimento uniforme) considerando linear o perfil de velocidades do escoamento produzido no óleo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco com formato de paralelepípedo que está deslizando sobre uma superfície inclinada de em relação à horizontal. A base do bloco mede e ele pesa 25 kg. Essa superfície está coberta por uma película de óleo com viscosidade e espessura . Queremos descobrir qual é a velocidade terminal do bloco quando ele está em movimento uniforme, ou seja, deslizando sem acelerar mais.
Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam no bloco e como a viscosidade do óleo influencia na sua velocidade. Vamos usar conceitos de estática e dinâmica, além de conhecer um pouco sobre viscosidade e como ela gera uma força de resistência ao movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco. Há duas principais:
  1. Força da Gravidade ( ): Essa força puxa o bloco para baixo, na direção da inclinação.
  2. Força de Arrasto Viscoso ( ): Devido à presença do óleo, há uma resistência que tenta parar o movimento do bloco.
Quando o bloco atinge a velocidade terminal, essas duas forças se equilibram, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a Força da Gravidade na direção da inclinação. A força da gravidade total é Fg = m cdot g cdot sin(theta) , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ). Mas como a superfície está inclinada, precisamos considerar apenas a componente da força da gravidade que atua na direção da inclinação:
Onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular a Força de Arrasto Viscoso. Essa força depende da viscosidade do óleo, da área de contato entre o bloco e o óleo, da velocidade Fa = mu cdot A cdot vh do bloco, e da espessura da película de óleo . A fórmula para a força de arrasto viscoso é:
Onde:
  • é a viscosidade do óleo,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade,
  • é a espessura do óleo.

Passo 5

Vamos igualar as duas forças para encontrar a velocidade terminal:
m cdot g cdot sin(theta) = mu cdot A cdot vh
Resolvendo para v = m cdot g cdot sin(theta) cdot hmu cdot A :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
  • Massa ( ) = 25 kg
  • Aceleração da gravidade ( ) =
  • Ângulo ( ) =
  • Viscosidade ( ) =
  • Espessura do óleo ( ) =
  • Área da base ( ) =

Passo 7

Primeiro, vamos calcular v = 25 , kg times 9,81 , m/s^2 times 0,5 times 2,5 times 10^-5 , m2,15 times 10^-3 , kg cdot m^-1 cdot s^-1 times 0,04 , m^2 , que é .
Agora, substituindo os valores na fórmula:

Passo 8

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
25 times 9,81 times 0,5 times 2,5 times 10^-5 = 25 times 9,81 = 245,25
245,25 times 0,5 = 122,625
122,625 times 2,5 times 10^-5 = 122,625 times 0,000025 = 0,003065625
Denominador:
2,15 times 10^-3 times 0,04 = 2,15 times 0,04 = 0,086 times 10^-3 = 0,000086

Passo 9

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
v = 0,0030656250,000086 approx 35,66 , m/s

Resposta

A velocidade terminal do bloco é aproximadamente .

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