Um bloco de 2 kg , sobre uma superficie horizontal sem atrito, é empurrado contra uma mola de/constante elástica igual a 500 N / m, comprimindo a mola de 20 cm . O bloco é entỉo liberado e a força da mola o acelera à medida que a mola descomprime. Depois, o bloco desliza ao longo da superficie e sobe um plano sem atrito inclinado de 45. Qual é a distância que o bloco percorre, rampa acima, até atingir momentaneamente o repouso?

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre um bloco de 2 kg que está empurrado contra uma mola com constante elástica de 500, N/m e comprimida 20 cm ( 0,2, m). Quando a mola é liberada, ela empurra o bloco, que então desliza sobre uma superfície sem atrito e sobe uma rampa inclinada de 45 graus. Precisamos descobrir até que distância o bloco sobe na rampa antes de parar momentaneamente. Vamos usar conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e energia potencial gravitacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. A energia potencial elástica da mola é dada por:
Umola = 12 k x^2
onde k = 500, N/m é a constante da mola e x = 0,2, m é a compressão.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
Umola = 12 times 500, N/m times (0,2, m)^2 = 12 times 500 times 0,04 = 10, J
Então, a mola tem 10 joules de energia armazenada quando comprimida.

Passo 4

Quando a mola é liberada, essa energia é convertida em energia cinética do bloco. Como não há atrito, toda a energia da mola se transforma em energia cinética:
Ecinética = Umola = 10, J é
A energia cinética é dada por:
Ecinética = 12 m v^2 é
onde m = 2, kg e v é a velocidade do bloco.

Passo 5

Vamos resolver para v:
10, J = 12 times 2, kg times v^2 10 = 1 times v^2 v^2 = 10 v = raiz10 approx 3,16, m/s
Então, a velocidade inicial do bloco ao sair da mola é de aproximadamente 3,16, m/s.

Passo 6

Agora, o bloco sobe a rampa inclinada. A energia cinética será convertida em energia potencial gravitacional. A energia potencial gravitacional é dada por:
Ugravidade = m g h
onde g = 9,8, m/s^2 é a aceleração da gravidade e h é a altura alcançada.

Passo 7

Como a rampa está inclinada a 45 graus, podemos relacionar a altura h com a distância d percorrida na rampa usando a relação trigonométrica:
h = d sin(theta)
com theta = 45^circ e sin(45^circ) = raiz22.

Passo 8

Igualando a energia cinética à energia potencial gravitacional:
12 m v^2 = m g h 12 v^2 = g h h = v^22g
Substituindo v = raiz10 e g = 9,8, m/s^2:
h = 102 times 9,8 = 1019,6 approx 0,51, m

Passo 9

Agora, usando a relação entre h e d:
0,51 = d times raiz22 d = 0,51 times 2raiz2 approx 1,021,414 approx 0,72, m

Resposta

O bloco percorre aproximadamente 0,72 metros na rampa até atingir momentaneamente o repouso.

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