Uma carga
está distribuída uniformemente ao longo de uma circunferência de raio
e uma partícula pontual de carga q foi colocada no centro da circunferência. Nessas condições, determine a força resultante a que a partícula está submetida.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma carga total $ Q $ distribuída de maneira uniforme ao longo de uma circunferência com raio $ R $. No centro dessa circunferência, colocamos uma partícula pontual com carga $ q $. O que precisamos descobrir é qual é a força resultante que essa partícula $ q $ sofre devido à distribuição da carga $ Q $.
Para resolver isso, vamos precisar usar:
- Lei de Coulomb: que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas.
- Princípio da Superposição: que permite somar as forças de várias cargas.
- Simetria Geométrica: para facilitar os cálculos considerando a distribuição uniforme das cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que diz que a força entre duas cargas pontuais $ q_1 $ e $ q_2 $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
onde $ k_e $ é a constante eletrostática ($ k_e \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).
Passo 3
No nosso caso, a partícula $ q $ está no centro da circunferência, e a carga $ Q $ está distribuída uniformemente ao longo da circunferência de raio $ R $. Vamos considerar um pequeno elemento de carga $ dQ $ na circunferência. A força $ dF $ exercida por esse elemento $ dQ $ na partícula $ q $ é:
Passo 4
Agora, precisamos somar todas essas forças $ dF $ ao redor da circunferência para encontrar a força total $ F $. Isso implica em integrar $ dF $ ao longo de toda a circunferência.
Porém, devido à simetria do problema, percebemos que para cada elemento $ dQ $ em um ponto da circunferência, há outro elemento $ dQ’ $ diametralmente oposto. As forças exercidas por esses dois elementos em $ q $ terão componentes que se cancelam nas direções perpendiculares à linha que liga $ q $ ao centro da circunferência.
Passo 5
Isso significa que todas as componentes das forças nas direções tangenciais se anulam uma a outra. A única possibilidade seria uma força resultante na direção radial, mas como a carga $ Q $ está distribuída uniformemente, as forças radiais também se cancelam.
Passo 6
Portanto, a soma vetorial de todas as forças $ dF $ ao redor da circunferência resulta em uma força total $ F $ igual a zero.
Resposta
A força resultante a que a partícula $ q $ está submetida é igual a zero.