O bloco 1 de desliza sem velocidade inicial ao longo de uma rampa sem atrito a partir de uma altura e colide com o bloco 2 de massa , inicialmente em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de atrito cinético é 0,4 e para depois de percorrer uma distância d nessa região. Qual o valor da distância d se a colisão é (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois blocos: o bloco 1 com massa deslizando sem velocidade inicial por uma rampa sem atrito a partir de uma altura metros. Ele colide com o bloco 2, que tem massa e está inicialmente parado. Após a colisão, o bloco 2 vai deslizar em uma região com atrito cinético (coeficiente ) e para depois de andar uma certa distância . Nosso objetivo é encontrar essa distância para duas situações: (a) colisão elástica e (b) colisão perfeitamente inelástica.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial e cinética, conservação de quantidade de movimento, tipos de colisão (elástica e inelástica), e a força de atrito para calcular a distância que o bloco 2 vai percorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco 1 no momento da colisão. Como o bloco 1 desce uma rampa sem atrito a partir de uma altura , a energia potencial inicial será toda convertida em energia cinética no fundo da rampa.
A energia potencial inicial é:
E a energia cinética no momento da colisão é:
Igualando as duas (pois ):
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos a velocidade do bloco 1 no momento da colisão, vamos considerar os dois tipos de colisão:

(a) Colisão Elástica

Em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas.
Primeiro, usamos a conservação da quantidade de movimento:
Como , substituímos:
Simplificando:
Agora, usamos a conservação da energia cinética:
Substituindo :
Dividindo tudo por :
Agora temos um sistema de duas equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos as velocidades após a colisão:

Passo 4

Com a velocidade do bloco 2 após a colisão elástica ( ), vamos calcular a distância que ele percorre na região com atrito.
A força de atrito que atua no bloco 2 é:
Substituindo :
Essa força de atrito vai desacelerar o bloco até parar. Usamos a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração:
A aceleração é negativa porque está desacelerando. Agora, usamos a equação de movimento para encontrar a distância :
Como o bloco para, :
Resolvendo para :
Substituindo :

Passo 5

(b) Colisão Perfeitamente Inelástica

Em uma colisão perfeitamente inelástica, os blocos ficam juntos após a colisão, ou seja, têm a mesma velocidade final.
Usamos a conservação da quantidade de movimento:
Sabendo que :
Simplificando:

Passo 6

Com a velocidade conjunta dos blocos após a colisão ( ), vamos calcular a distância que eles percorrem na região com atrito.
A massa total é , então a força de atrito é:
A aceleração será:
Usando a equação de movimento:
Resolvendo para :
Substituindo :

Resposta

(a) Distância metros.
(b) Distância metros.

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