O bloco 1 de m1 desliza sem velocidade inicial ao longo de uma rampa sem atrito a partir de uma altura h=5,0 m e colide com o bloco 2 de massa m2=3,0 m1, inicialmente em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de atrito cinético é 0,4 e para depois de percorrer uma distância d nessa região. Qual o valor da distância d se a colisão é (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois blocos: o bloco 1 com massa deslizando sem velocidade inicial por uma rampa sem atrito a partir de uma altura metros. Ele colide com o bloco 2, que tem massa e está inicialmente parado. Após a colisão, o bloco 2 vai deslizar em uma região com atrito cinético (coeficiente ) e para depois de andar uma certa distância . Nosso objetivo é encontrar essa distância para duas situações: (a) colisão elástica e (b) colisão perfeitamente inelástica.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial e cinética, conservação de quantidade de movimento, tipos de colisão (elástica e inelástica), e a força de atrito para calcular a distância que o bloco 2 vai percorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco 1 no momento da colisão. Como o bloco 1 desce uma rampa sem atrito a partir de uma altura Ep = m1 cdot g cdot h , a energia potencial inicial será toda convertida em energia cinética no fundo da rampa.
A energia potencial inicial é:
Ek = 12 m1 v^2
E a energia cinética no momento da colisão é:
m1 cdot g cdot h = 12 m1 v^2
Igualando as duas (pois g cdot h = 12 v^2 ):
v = raiz2 g h
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos a velocidade do bloco 1 no momento da colisão, vamos considerar os dois tipos de colisão:

(a) Colisão Elástica

Em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas.
Primeiro, usamos a conservação da quantidade de movimento:
m1 v = m1 v1' + m2 v2'
Como m1 v = m1 v1' + 3 m1 v2' , substituímos:
v = v1' + 3 v2'
Simplificando:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
Agora, usamos a conservação da energia cinética:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 cdot 3 m1 cdot v2'^2
Substituindo v^2 = v1'^2 + 3 v2'^2 :
v1' = v2
Dividindo tudo por v2' = v2 :
Agora temos um sistema de duas equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos as velocidades após a colisão:

Passo 4

Com a velocidade do bloco 2 após a colisão elástica ( Fatrito = muk cdot m2 cdot g ), vamos calcular a distância Fatrito = 0,4 cdot 3 m1 cdot g = 1,2 m1 g que ele percorre na região com atrito.
A força de atrito que atua no bloco 2 é:
F = m cdot a Rightarrow a = Fm = 1,2 m1 g3 m1 = 0,4 g
Substituindo vf^2 = vi^2 + 2 a d :
0 = (v2)^2 - 2 cdot 0,4 g cdot d
Essa força de atrito vai desacelerar o bloco até parar. Usamos a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração:
d = (v2)^22 cdot 0,4 g = v^216 g
A aceleração é negativa porque está desacelerando. Agora, usamos a equação de movimento para encontrar a distância d = 2 g h16 g = h8 = 5,08 = 0,625 , metros :
Como o bloco para, :
Resolvendo para :
Substituindo :

Passo 5

(b) Colisão Perfeitamente Inelástica

Em uma colisão perfeitamente inelástica, os blocos ficam juntos após a colisão, ou seja, têm a mesma velocidade final.
Usamos a conservação da quantidade de movimento:
m1 v = (m1 + m2) v'
Sabendo que m1 v = (m1 + 3 m1) v' Rightarrow m1 v = 4 m1 v' :
v' = v4
Simplificando:

Passo 6

Com a velocidade conjunta dos blocos após a colisão ( Fatrito = muk cdot (m1 + m2) cdot g = 0,4 cdot 4 m1 cdot g = 1,6 m1 g ), vamos calcular a distância a = Fatritomtotal = 1,6 m1 g4 m1 = 0,4 g que eles percorrem na região com atrito.
A massa total é 0 = (v4)^2 - 2 cdot 0,4 g cdot d , então a força de atrito é:
d = (v4)^22 cdot 0,4 g = v^232 g
A aceleração será:
d = 2 g h32 g = h16 = 5,016 = 0,3125 , metros
Usando a equação de movimento:
Resolvendo para :
Substituindo :

Resposta

(a) Distância metros.
(b) Distância metros.

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