Um bloco de massa m desliza ao longo de um plano inclinado de um ângulo theta em relação à horizontal. O comprimento do plano é igual a L e o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado é igual a muc. Supondo que o módulo da velocidade do bloco no topo do plano seja igual a v1, calcule o módulo da velocidade do bloco na base do plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um bloco de massa $ m $ que desliza por um plano inclinado com um ângulo $ \theta $. O comprimento desse plano é $ L $ e há um atrito entre o bloco e o plano, representado pelo coeficiente de atrito $ \mu_c $. No topo do plano, o bloco tem uma velocidade $ v_1 $ e queremos descobrir qual será a velocidade $ v_2 $ do bloco na base do plano.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia. Precisamos considerar tanto a energia cinética do bloco quanto o trabalho feito pelas forças de atrito e pela gravidade ao longo do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas:
  1. Energia Cinética Inicial ($ E_{cin,inicial} $): É a energia do bloco devido ao seu movimento no topo do plano. É dada por:
    Ecin,inicial
  2. Energia Cinética Final ($ E_{cin,final} $): É a energia do bloco quando chega na base do plano, com velocidade $ v_2 $:
    Ecin,inicial = 12 m v1^2

Passo 3

Agora, vamos considerar o Trabalho das Forças de Atrito. O atrito sempre faz o trabalho contrário ao movimento, ou seja, retira energia do sistema.
O trabalho do atrito ($ W_{atrito} $) é dado por:
Watrito
onde $ f $ é a força de atrito. Como $ f = \mu_c \cdot N $ e $ N $ é a força normal, que em um plano inclinado é $ N = m g \cos\theta $, temos:
Watrito = -f cdot L
Então:
f

Passo 4

Além do atrito, há a variação da Energia Potencial Gravitacional ($ \Delta U $). No topo do plano, o bloco tem uma certa altura em relação à base. A variação da energia potencial é:
De
onde $ h $ é a altura do plano. Sabemos que $ h = L \sin\theta $, então:
De

Passo 5

Aplicando o Princípio da Conservação da Energia, a energia total inicial mais o trabalho das forças iguala à energia total final:
Ecin,inicial + Watrito - De
Substituindo as expressões que encontramos:
12 m v1^2 - muc m g costheta L - m g L sintheta = 12 m v2^2

Passo 6

Agora, vamos resolver para $ v_2 $. Primeiro, podemos dividir toda a equação por $ \frac{1}{2} m $ para simplificar:
v2
Então, isolando $ v_2 $:
12 m

Resposta

A velocidade do bloco na base do plano é:
v2 = raizv1^2 - 2 g L ( muc costheta + sintheta )

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