Para se determinar o volume maciço de um cilindro metálico vazado por uma esfera, mediu-se 5 vezes o diâmetro D do cilindro com um micrômetro obtendo-se: barD=2,2155 cm com um desvio relativo de 5,6% e o. A sua altura H foi medida com um paquímetro com os valores dados na tabela abaixo:
H(cm) 7,290 7,275 7,280 7,255 7,260
O diâmetro da esfera é igual a d=1,125 cm com sum(di-bard)^2=0,002580 cm^2 para 6 medidas
Determine o desvio padrão da medida de D, H e d e ajuste os valores médios se necessário.
(resp.D=2,22士0,12cm; H=7,272ェ0,014cm; d=1,125士0,023cm)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o desvio padrão das medidas de três elementos: o diâmetro $ D $ do cilindro, a altura $ H $ do cilindro e o diâmetro $ d $ da esfera. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de estatística que nos ajudam a entender a variação nas medições. Vamos por partes!

Passo 2

Calculando o desvio padrão de $ D $:
Primeiro, vamos olhar para o diâmetro $ D $ do cilindro. A média das medidas é $ \bar{D} = 2,2155 $ cm e o desvio relativo dado é de 5,6%. O desvio relativo é basicamente o desvio padrão dividido pela média, expressando a variação em porcentagem.
A fórmula para o desvio padrão ($ \sigma $) usando o desvio relativo é:
D
Substituindo os valores:
D
Arredondando para duas casas decimais, temos $ \sigma_D \approx 0,12 $ cm.

Passo 3

Calculando o desvio padrão de $ H $:
Agora, vamos para a altura $ H $ do cilindro. As medidas foram: 7,290 cm; 7,275 cm; 7,280 cm; 7,255 cm; e 7,260 cm.
Primeiro, calculamos a média ($ \bar{H} $):
H
Agora, calculamos o desvio padrão ($ \sigma_H $). A fórmula é:
H
Onde:
  • $ H_i $ são as medidas individuais
  • $ n $ é o número de medidas
Vamos calcular a soma das diferenças ao quadrado:
barH
barH = 7,290 + 7,275 + 7,280 + 7,255 + 7,2605 = 36,3605 = 7,272 cm
sigmaH
Agora, aplicamos na fórmula:
sigmaH = raizsum (Hi - barH)^2n - 1

Passo 4

Calculando o desvio padrão de $ d $:
Para o diâmetro da esfera $ d $, temos a média $ \bar{d} = 1,125 $ cm e a soma das diferenças ao quadrado $ \sum (d_i - \bar{d})^2 = 0,002580 $ cm² para 6 medidas.
Usamos a mesma fórmula do desvio padrão:
d

Resposta

Dessa forma, os desvios padrão ajustados são:
D = 2,22 pm 0,12 cm; H = 7,272 pm 0,014 cm; d = 1,125 pm 0,023 cm

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