Um bloco de massa m está sobre uma mesa horizontal sem atrito e gira no plano horizontal da mesa, em torno de um eixo vertical, em movimento circular uniforme com velocidade tangenci , preso a uma mola de constante elástica k. O comprimento total da mola (e portanto o raio do círculo descrito pelo bloco) é dado por L+x, onde L é o comprimento natural da mola. Determ em função somente dos parâmetros dados, m, V, k, L :
a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível (altura) da mesa, E mec,total,

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos um bloco de massa que está sobre uma mesa sem atrito e está girando em um movimento circular uniforme com velocidade tangencial . Esse bloco está preso a uma mola com constante elástica , e o comprimento total da mola é , onde é o comprimento natural da mola e é a extensão causada pela força do movimento. O que queremos encontrar aqui é a energia mecânica total do sistema em termos dos parâmetros , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um sistema é a soma de duas coisas: a energia cinética ( Emec,total = Ecin + Epot ) e a energia potencial armazenada ( ). Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética ( Ecin = 12 m V^2 ). Como o bloco está em movimento circular uniforme, a energia cinética é dada por:
Aqui, é a massa do bloco e é a velocidade tangencial.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial ( Epot = 12 k x^2 ) armazenada na mola. A energia potencial de uma mola esticada é dada por:
Onde é a constante elástica da mola e é a extensão da mola além do seu comprimento natural .

Passo 5

No entanto, precisamos expressar Fc = m V^2r em termos dos parâmetros dados: Fmola = k x , m V^2L + x = k x , e . Para isso, vamos usar a relação entre a força centrípeta necessária para o movimento circular e a força da mola.
A força centrípeta ( ) é:
Onde é o raio do movimento circular.
A força da mola ( ) é:
Como o movimento está em equilíbrio, essas duas forças são iguais:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para m V^2 = k x (L + x) :
k x^2 + k L x - m V^2 = 0
a = k, b = k L, c = -m V^2
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática para x = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a = -k L pm raiz(k L)^2 + 4 k m V^22 k :
x = -k L + raiz(k L)^2 + 4 k m V^22 k = -L + raizL^2 + 4 m V^2k2
Como a extensão não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:

Passo 8

Agora que temos Epot = 12 k ( -L + raizL^2 + 4 m V^2k2 )^2 em termos de , , e , podemos substituir esse valor na expressão da energia potencial:

Passo 9

Finalmente, somamos a energia cinética e a energia potencial para obter a energia mecânica total:
Emec,total = 12 m V^2 + 12 k ( -L + raizL^2 + 4 m V^2k2 )^2

Resposta

A energia mecânica total do sistema é dada por:
Emec,total = 12 m V^2 + 12 k ( -L + raizL^2 + dfrac4 m V^2k2 )^2

Exercícios relacionados