Um bloco de massa
está sobre uma mesa horizontal sem atrito e gira no plano horizontal da mesa, em torno de um eixo vertical, em movimento circular uniforme com velocidade tangenci , preso a uma mola de constante elástica
. O comprimento total da mola (e portanto o raio do círculo descrito pelo bloco) é dado por
, onde
é o comprimento natural da mola. Determ em função somente dos parâmetros dados,
:
a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível (altura) da mesa,
a energia mecânica total do sistema, em relação ao nível (altura) da mesa,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos um bloco de massa
que está sobre uma mesa sem atrito e está girando em um movimento circular uniforme com velocidade tangencial
. Esse bloco está preso a uma mola com constante elástica
, e o comprimento total da mola é
, onde
é o comprimento natural da mola e
é a extensão causada pela força do movimento. O que queremos encontrar aqui é a energia mecânica total do sistema
em termos dos parâmetros
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um sistema é a soma de duas coisas: a energia cinética (
) e a energia potencial armazenada (
). Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética (
). Como o bloco está em movimento circular uniforme, a energia cinética é dada por:
Aqui,
é a massa do bloco e
é a velocidade tangencial.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial (
) armazenada na mola. A energia potencial de uma mola esticada é dada por:
Onde
é a constante elástica da mola e
é a extensão da mola além do seu comprimento natural
.
Passo 5
No entanto, precisamos expressar
em termos dos parâmetros dados:
,
,
e
. Para isso, vamos usar a relação entre a força centrípeta necessária para o movimento circular e a força da mola.
A força centrípeta (
) é:
Onde
é o raio do movimento circular.
A força da mola (
) é:
Como o movimento está em equilíbrio, essas duas forças são iguais:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática para
:
Como a extensão
não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Passo 8
Agora que temos
em termos de
,
,
e
, podemos substituir esse valor na expressão da energia potencial:
Passo 9
Finalmente, somamos a energia cinética e a energia potencial para obter a energia mecânica total:
Resposta
A energia mecânica total do sistema é dada por: