Um bloco de metal de massa
escorrega numa superfície horizontal plana lubrificada com um óleo muito denso. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva (análoga ao atrito) dada por
onde
é uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente na origem, com uma velocidade inicial
, qual será a função da posição em função do tempo, ou sejaa,
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um bloco de metal com massa
que está deslizando sobre uma superfície horizontal bem lubrificada com óleo denso. Nessa superfície, o bloco enfrenta uma força resistiva que depende da velocidade dele, dada por
, onde
é uma constante positiva. O bloco parte da posição inicial
com uma velocidade inicial
. O objetivo é descobrir qual é a função da posição em relação ao tempo,
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Também precisaremos usar cálculo para integrar as funções de velocidade e obter a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a força resistiva com a aceleração do bloco. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, a força resultante é a força resistiva
, e a aceleração
é a variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar
:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade
com o tempo
. Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a integral do lado esquerdo em relação a
:
Calculando a integral:
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos rearranjar para:
Vamos resolver para
isolando a variável:
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição inicial. Quando
,
:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Substituindo
de volta:
Usando a condição inicial
para encontrar
:
Então, a função
fica:
Simplificando:
Resposta
A função da posição em função do tempo é: