Um bloco de metal de massa m escorrega numa superfície horizontal plana lubrificada com um óleo muito denso. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva (análoga ao atrito) dada por
F(v)=-b v^32
onde b é uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente na origem, com uma velocidade inicial v0, qual será a função da posição em função do tempo, ou sejaa, x(t)?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um bloco de metal com massa m que está deslizando sobre uma superfície horizontal bem lubrificada com óleo denso. Nessa superfície, o bloco enfrenta uma força resistiva que depende da velocidade dele, dada por F(v) = -b v^32, onde b é uma constante positiva. O bloco parte da posição inicial x = 0 com uma velocidade inicial v0. O objetivo é descobrir qual é a função da posição em relação ao tempo, x(t).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Também precisaremos usar cálculo para integrar as funções de velocidade e obter a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a força resistiva com a aceleração do bloco. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m cdot a
Aqui, a força resultante é a força resistiva F(v) = -b v^32, e a aceleração a é a variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a = dvdt. Substituindo na equação:
-b v^32 = m cdot dvdt

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar dvdt:
dvdt = -bm v^32
Essa é uma equação diferencial que relaciona a velocidade v com o tempo t. Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis v e t:
dvv^32 = -bm dt

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a integral do lado esquerdo em relação a v:
integral dvv^32 = integral -bm dt
Calculando a integral:
integral v^-32 dv = -bm integral dt
A integral de v^-32 dv é:
-2 v^-12 = -bm t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para v:
-2 v^-12 = -bm t + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
2 v^-12 = bm t - C
Podemos rearranjar para:
v^-12 = b2m t - C2
Vamos resolver para v isolando a variável:
v = ( b2m t - C2 )^-2
Agora, vamos determinar a constante C usando a condição inicial. Quando t = 0, v = v0:
v0 = ( 0 - C2 )^-2 Rightarrow v0 = ( -C2 )^-2 Rightarrow -C2 = 1raizv0 Rightarrow C = -2 raizv0
Substituindo C na expressão de v:
v = ( b2m t + raizv0 )^-2

Passo 6

Agora que temos v(t), vamos encontrar x(t) integrando a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) dt = integral ( b2m t + raizv0 )^-2 dt
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = b2m t + raizv0, então du = b2m dt, ou seja, dt = 2mb du.
Substituindo na integral:
x(t) = integral u^-2 cdot 2mb du = 2mb integral u^-2 du
Integrando:
2mb cdot ( -u^-1 ) + C' = -2mb cdot 1u + C'
Substituindo u de volta:
x(t) = -2mb cdot 1b2m t + raizv0 + C'
Usando a condição inicial x(0) = 0 para encontrar C':
0 = -2mb cdot 1raizv0 + C' Rightarrow C' = 2mb raizv0
Então, a função x(t) fica:
x(t) = 2mb raizv0 - 2mb cdot 1b2m t + raizv0 = 2mb raizv0 (1 - 11 + b raizv02m t )
Simplificando:
x(t) = 4m^2b^2 v0 ln (1 + b raizv02m t )

Resposta

A função da posição em função do tempo é:
x(t) = 4m^2b^2 v0 ln (1 + b raizv02m t )

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