Um bloco retangular de um material com um módulo de elasticidade transversal
é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferio é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P (Fig. 9.45). Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine (a) a deformação de cisalhamento média no material e (b) a força
que atua na placa superior.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um bloco retangular feito de um material com módulo de elasticidade transversal
. Esse bloco está colado entre duas placas rígidas horizontais: a placa de baixo está fixa e a de cima é puxada por uma força horizontal
. Sabemos que essa força faz com que a placa de cima se desloque 1 mm. A pergunta quer saber:
(a) A deformação de cisalhamento média no material.
(b) A força
que está atuando na placa superior.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é deformação de cisalhamento e como o módulo de elasticidade transversal se relaciona com ela. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a deformação de cisalhamento (
). Ela é uma medida de como o material está deformando quando uma força paralela é aplicada. A equação que relaciona o módulo de elasticidade transversal (
), a tensão de cisalhamento (
) e a deformação de cisalhamento (
) é:
Onde:
-
é a tensão de cisalhamento, -
é o módulo de elasticidade transversal, -
é a deformação de cisalhamento.
Passo 3
Para encontrar a deformação de cisalhamento média (
), precisamos relacionar o deslocamento da placa superior com as dimensões do material. A deformação de cisalhamento é definida como:
Onde:
-
é o deslocamento da placa superior, -
é a altura (espessura) do material.
No entanto, a questão não nos deu o valor de
. Mas podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (a) da questão: determinar a deformação de cisalhamento média (
) no material.
Já temos a fórmula:
Sem o valor de
, essa é a expressão mais simplificada que podemos obter para
. Então, a deformação de cisalhamento média é:
Passo 5
Passando para a parte (b): determinar a força
.
Sabemos que a tensão de cisalhamento (
) é relacionada à força
e à área (
) pela fórmula:
E também sabemos que:
Juntando essas duas equações:
Substituindo
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Então, a força
que atua na placa superior é:
Resposta
(a) A deformação de cisalhamento média no material é
.
(b) A força que atua na placa superior é
.