4-23. The rod has a slight taper and length L. It is suspended from the ceiling and supports a load P at its end. Show that the displacement of its end due to this load is de. Neglect the weight of the material. The modulus of elasticity is E.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste levemente afilada com comprimento de, pendurada no teto e suportando uma carga na sua extremidade. Queremos mostrar que o deslocamento da extremidade devido a essa carga é dado por:
Aqui, é o módulo de elasticidade do material, e e são os raios nas extremidades da haste. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformação de hastes sujeitas a cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica para o deslocamento de uma haste submetida a uma carga axial:
de
Onde:
  • é o deslocamento
  • é a carga aplicada
  • é o comprimento da haste
  • é a área da seção transversal
  • é o módulo de elasticidade
No nosso caso, a haste é afilada, ou seja, o raio varia ao longo do comprimento. Então, a área também varia.

Passo 3

Como a haste é levemente afilada, podemos supor que a variação do raio é linear ao longo do comprimento. Assim, o raio em qualquer ponto r(x) = r1 + ( r2 - r1L ) x da haste (medido a partir da base) pode ser dado por:
Mas para simplificar, vamos considerar que a área efetiva média pode ser usada na fórmula do deslocamento.

Passo 4

A área da seção transversal em qualquer ponto A(x) = pi r(x)^2 é:
Substituindo na equação, teríamos uma integral para calcular o deslocamento total, já que a área varia.

Passo 5

Integrando ao longo do comprimento da haste, o deslocamento total de é:
Substituindo pela expressão linear que definimos anteriormente.

Passo 6

Para simplificar a integral, assumimos que a variação do raio é pequena e podemos aproximar a área média como:
Amédia = pi r1 r2 é
Essa é uma média geométrica que facilita nossos cálculos.

Passo 7

Agora, substituímos deé na fórmula do deslocamento:
E assim chegamos à expressão que a questão pediu para demonstrar.

Resposta

Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é:
de

Exercícios relacionados