4-23. The rod has a slight taper and length . It is suspended from the ceiling and supports a load at its end. Show that the displacement of its end due to this load is . Neglect the weight of the material. The modulus of elasticity is .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste levemente afilada com comprimento , pendurada no teto e suportando uma carga na sua extremidade. Queremos mostrar que o deslocamento da extremidade devido a essa carga é dado por:
Aqui, é o módulo de elasticidade do material, e e são os raios nas extremidades da haste. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformação de hastes sujeitas a cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica para o deslocamento de uma haste submetida a uma carga axial:
Onde:
  • é o deslocamento
  • é a carga aplicada
  • é o comprimento da haste
  • é a área da seção transversal
  • é o módulo de elasticidade
No nosso caso, a haste é afilada, ou seja, o raio varia ao longo do comprimento. Então, a área também varia.

Passo 3

Como a haste é levemente afilada, podemos supor que a variação do raio é linear ao longo do comprimento. Assim, o raio em qualquer ponto da haste (medido a partir da base) pode ser dado por:
Mas para simplificar, vamos considerar que a área efetiva média pode ser usada na fórmula do deslocamento.

Passo 4

A área da seção transversal em qualquer ponto é:
Substituindo na equação, teríamos uma integral para calcular o deslocamento total, já que a área varia.

Passo 5

Integrando ao longo do comprimento da haste, o deslocamento total é:
Substituindo pela expressão linear que definimos anteriormente.

Passo 6

Para simplificar a integral, assumimos que a variação do raio é pequena e podemos aproximar a área média como:
é
Essa é uma média geométrica que facilita nossos cálculos.

Passo 7

Agora, substituímos é na fórmula do deslocamento:
E assim chegamos à expressão que a questão pediu para demonstrar.

Resposta

Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é:

Exercícios relacionados

P3.20 Um corpo de prova de aço 1035 laminado a quente, com diâmetro de 0,500 in ( ) e comprimento útil de 2,0 in ( ), foi submetido a um ensaio de tração até a ruptura. Os dados de carga e alongamento obtidos durante o ensaio sāo fomecidos. Determine:
(a) o módulo de elasticidade.
(b) o limite de proporcionalidade.
© a resistência estática.
(d) o limite de escoamento (deslocamento de 0,05%).
(e) o limite de escoamento (deslocamento de ).
(f) a tensāo de ruptura.
(g) a tensão real de ruptura, considerando que o diàmetro final do corpo de prova no local da ruptura tenha sido .
Determine a máxima força vertical P que pode ser aplicada ao sistema de modo que a tensão normal media desenvolvida na barra CD de diâmetro 10 mm não ultrapasse 175 MPa e a tensão de cisalhamento media desenvolvida no pino B (de 6 mm de diametro) (sujeito a cisalhamento duplo) não ultrapasse 75 MPa .
Um bloco retangular de um material com um módulo de elasticidade transversal é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferio é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P (Fig. 9.45). Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine (a) a deformação de cisalhamento média no material e (b) a força que atua na placa superior.
Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo.

Resp: