4-23. The rod has a slight taper and length
. It is suspended from the ceiling and supports a load
at its end. Show that the displacement of its end due to this load is
. Neglect the weight of the material. The modulus of elasticity is
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste levemente afilada com comprimento
, pendurada no teto e suportando uma carga
na sua extremidade. Queremos mostrar que o deslocamento da extremidade devido a essa carga é dado por:
Aqui,
é o módulo de elasticidade do material, e
e
são os raios nas extremidades da haste. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformação de hastes sujeitas a cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica para o deslocamento de uma haste submetida a uma carga axial:
Onde:
-
é o deslocamento -
é a carga aplicada -
é o comprimento da haste -
é a área da seção transversal -
é o módulo de elasticidade
No nosso caso, a haste é afilada, ou seja, o raio varia ao longo do comprimento. Então, a área
também varia.
Passo 3
Como a haste é levemente afilada, podemos supor que a variação do raio é linear ao longo do comprimento. Assim, o raio em qualquer ponto
da haste (medido a partir da base) pode ser dado por:
Mas para simplificar, vamos considerar que a área efetiva média pode ser usada na fórmula do deslocamento.
Passo 4
A área da seção transversal em qualquer ponto
é:
Substituindo
na equação, teríamos uma integral para calcular o deslocamento total, já que a área varia.
Passo 5
Integrando ao longo do comprimento da haste, o deslocamento total
é:
Substituindo
pela expressão linear que definimos anteriormente.
Passo 6
Para simplificar a integral, assumimos que a variação do raio é pequena e podemos aproximar a área média como:
Essa é uma média geométrica que facilita nossos cálculos.
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula do deslocamento:
E assim chegamos à expressão que a questão pediu para demonstrar.
Resposta
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é: