4-23. The rod has a slight taper and length
. It is suspended from the ceiling and supports a load
at its end. Show that the displacement of its end due to this load is
. Neglect the weight of the material. The modulus of elasticity is
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste levemente afilada com comprimento
, pendurada no teto e suportando uma carga
na sua extremidade. Queremos mostrar que o deslocamento da extremidade devido a essa carga é dado por:
Aqui,
é o módulo de elasticidade do material, e
e
são os raios nas extremidades da haste. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformação de hastes sujeitas a cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica para o deslocamento de uma haste submetida a uma carga axial:
Onde:
-
é o deslocamento -
é a carga aplicada -
é o comprimento da haste -
é a área da seção transversal -
é o módulo de elasticidade
No nosso caso, a haste é afilada, ou seja, o raio varia ao longo do comprimento. Então, a área
também varia.
Passo 3
Como a haste é levemente afilada, podemos supor que a variação do raio é linear ao longo do comprimento. Assim, o raio em qualquer ponto
da haste (medido a partir da base) pode ser dado por:
Mas para simplificar, vamos considerar que a área efetiva média pode ser usada na fórmula do deslocamento.
Passo 4
A área da seção transversal em qualquer ponto
é:
Substituindo
na equação, teríamos uma integral para calcular o deslocamento total, já que a área varia.
Passo 5
Integrando ao longo do comprimento da haste, o deslocamento total
é:
Substituindo
pela expressão linear que definimos anteriormente.
Passo 6
Para simplificar a integral, assumimos que a variação do raio é pequena e podemos aproximar a área média como:
Essa é uma média geométrica que facilita nossos cálculos.
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula do deslocamento:
E assim chegamos à expressão que a questão pediu para demonstrar.
Resposta
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é:
Exercícios relacionados
P3.20 Um corpo de prova de aço 1035 laminado a quente, com diâmetro de 0,500 in (
) e comprimento útil de 2,0 in (
), foi submetido a um ensaio de tração até a ruptura. Os dados de carga e alongamento obtidos durante o ensaio sāo fomecidos. Determine:
(a) o módulo de elasticidade.
(b) o limite de proporcionalidade.
© a resistência estática.
(d) o limite de escoamento (deslocamento de 0,05%).
(e) o limite de escoamento (deslocamento de ).
(f) a tensāo de ruptura.
(g) a tensão real de ruptura, considerando que o diàmetro final do corpo de prova no local da ruptura tenha sido .
(a) o módulo de elasticidade.
(b) o limite de proporcionalidade.
© a resistência estática.
(d) o limite de escoamento (deslocamento de 0,05%).
(e) o limite de escoamento (deslocamento de
(f) a tensāo de ruptura.
(g) a tensão real de ruptura, considerando que o diàmetro final do corpo de prova no local da ruptura tenha sido
Determine a máxima força vertical P que pode ser aplicada ao sistema de modo que a tensão normal media desenvolvida na barra CD de diâmetro 10 mm não ultrapasse 175 MPa e a tensão de cisalhamento media desenvolvida no pino B (de 6 mm de diametro) (sujeito a cisalhamento duplo) não ultrapasse 75 MPa .
Um bloco retangular de um material com um módulo de elasticidade transversal
é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferio é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P (Fig. 9.45). Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine (a) a deformação de cisalhamento média no material e (b) a força
que atua na placa superior.
Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de
determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo.